حلگرهای فشار مبنا و چگالی مبنا

حلگرهای فشار مبنا و چگالی مبنا

Pressure-Based and Density-Based Solvers

حلگرهای فشار مبنا و چگالی مبنا دو روش عددی حل معادلات حاکم بر جریان هستند. از نظر سنتی روش فشار مبنا برای جریان‌های تراکم ناپذیر کم سرعت، توسعه یافته است در حالیکه رویکرد چگالی مبنا اساسا برای جریان‌های تراکم پذیر پر سرعت مورد استفاده قرار می‌گیرد. به هر صورت در حال حاضر هر دو حلگر فوق برای گستره وسیعی از سرعت جریان و فراتر از کاربردهای سنتی خود بسط و توسعه یافته‌اند. در هر دو روش میدان سرعت از حل معادلات ممنتم بدست می‌آید. در حلگر چگالی مبنا معادله پیوستگی برای بدست آوردن میدان چگالی حل می‌شود. در حالیکه میدان فشار از طریق معادله حالت محاسبه می‌شود. از طرف دیگر در حلگر فشار مبنا میدان فشار با حل معادله فشار یا تصحیح فشار که از طریق دستکاری معادلات پیوستگی و ممنتم استخراج شده است تعیین می‌گردد.

در روش‌های حجم محدود (Finite Volume) مستقل از نوع حلگرها، فرم انتگرالی معادلات بقای جرم و ممنتم و در صورت نیاز معادله انرژی و معادلات مربوط به سایر پارامترها نظیر آشفتگی و گونه‌های شیمیایی حل می‌شود. محاسبات هر دو روش بر اساس حجم کنترل بوده و بطور کلی عبارتست از:

  • تقسیم دامنه فیزیکی به حجمهای کنترل گسسته با استفاده از شبکه محاسباتی
  • انتگرال گیری معادلات حاکم در هر حجم کنترل برای محاسبه متغیرهای وابسته گسسته نظیر سرعتها، فشار، دما و سایر پارامترهای اسکالری
  • خطی‌سازی معادلات گسسته شده و حل سیستم معادلات خطی برای بدست آوردن مقادیر تصحیح شده متغیرهای وابسته

هر دو حلگر از فرآیند گسسته‌سازی مشابه حجم محدود (Finite Volume) استفاده می‌کنند. اما رویکردهای خطی‌سازی و حل معادلات گسسته شده آن‌ها با یکدیگر تفاوت دارد.

معرفی حلگرهای فشار مبنا و چگالی مبنا

معرفی حلگر فشار مبنا

حلگر فشار مبنا از الگوریتمی که به روش‌های عمومی معروف به روش تبدیل تصویری (Projection Method) تعلق دارد. در روش تبدیل تصویری که در آن پیوستگیِ (قانون بقای جرم) میدان سرعت با استفاده از حل معادله فشار (یا تصحیح فشار) بدست می‌آید. معادله فشار از معادلات پیوستگی و ممنتم استخراج می‌شود. بطوریکه میدان سرعت تصحیح شده توسط فشار، معادله پیوستگی را ارضاء می‌کند. از آنجائیکه معادلات حاکم غیر خطی بوده و با یکدیگر کوپل هستند، فرایند حل بصورت تکراری است. تکرار حل معادلات تا زمانی ادامه دارد که مقادیر متغیرها همگرا گردند.

دو الگوریتم فشار مبنا به نام‌ها الگوریتم مجزا (Segregated) و کوپل شده (Coupled) توسعه یافته‌اند. هر دو الگوریتم فوق در نرم افزار فلوئنت (Fluent) در دسترس هستند. در حالیکه نرم افزار CFX تنها از الگوریتم کوپل شده استفاده می‌کند.

الگوریتم مجزا (Segregated)

در این الگوریتم به منظور محاسبه مقادیر متغیرهای جریان (u,w, w, t,p, k, Ɛ و غیره)، معادلات مستقلا و یکی پس از دیگری بطور متوالی حل می‌شوند. به همین خاطر این روش به الگوریتم مجزا (Segregated یا Decoupled) معروف است. الگوریتم مجزا به نسبت به الگوریتم کوپل شده به حافظه مورد نیاز بسیار کمتری برای حل معادلات نیاز دارد. در مقابل نرخ همگرایی این روش نسبت به الگوریتم کوپل شده بطور قابل توجهی کمتر است.  از آنجا که معادلات حاکم خطی نبوده و کوپله می‌باشد، بنابراین با روش سعی و خطا (تکرار حل معادلات تا دستیابی به پاسخهای مناسب) حل می‌گردد. هر تکرار از مراحلی تشکیل شده (شکل -1) که عبارتست از:

  1. خصوصیات سیال و جریان بر اساس آخرین تکرار تصحیح می‌گردد. باید توجه داشت که در اولین تکرار این خصوصیات بر اساس شرائط اولیه در نظر گرفته می‌شود.
  2. بمنظور تصحیح میدان سرعت، معادلات ممنتم u، v و w پشت سر هم و بر مبنای مقادیر تصحیح شده فشار و دبی جرمی حل می‌شود.
  3. از آنجا که سرعتهای محاسبه شده در اولین تکرار ممکن است که معادله پیوستگی را بطور محلی ارضاء نکند، لذا یک معادله Poisson-type برای تصحیح فشار، از معادله پیوستگی و معادلات ممنتم خطی شده بدست می‌آید. این معادله بمنظور دستیابی به تصحیحات مورد نیاز برای میدانهای سرعت و فشار و همچنین دبی جرمی که با معادله پیوستگی مطابقت داشته باشد، حل می‌گردد.
  4. در صورت نیاز، معادلات اسکالرهایی نظیر آشفتگی، انرژی، گونه‌های شیمیایی و تشعشع براساس مقادیر متغیرها که در آخرین تکرار محاسبه شده، حل می‌گردد.
  5. در مواقعی که کوپلینگ بین فازی1 نیز مد نظر باشد، ممکن است ترمهای چشمه مربوط به معادلات فاز پیوسته با محاسبه مسیر فاز گسسته تصحیح شود.
  6. همگرائی پاسخهای بدست آمده از تکرار جدید بررسی می‌شود.

مراحل فوق تا زمانیکه به همگرائی لازم برسد، تکرار می‌گردد.

الگوریتم مجزا در حلگر فشار مبنا

 شکل -1: مراحل حل معادلات حاکم بر جریان با روش Segregated در حلگر فشار مبنا

الگوریتم کوپل شده (Coupled) فشار مبنا

برخلاف الگوریتم مجزا، در الگوریتم کوپل شده، یک دستگاه معادلات کوپل شده متشکل از معادلات ممنتم و معادله پیوستگی فشار مبنا در هر تکرار حل می‌شوند. بنابراین در الگوریتم کوپل شده مراحل 2 و 3 الگوریتم مجزا با یک مرحله جایگزین می‌شوند و آن حل همزمان معادلات مربوطه است. سایر معادلات همانند رویکرد قبلی بصورت مجزا حل می‌شوند. به دلیل حل هم‌زمان معادلات نرخ همگرایی بطور قابل توجهی نسبت به الگوریتم مجزا بیشتر است. اما در عوض، میزان حافظه مورد نیاز به 1.5 تا 2 برابر افزایش پیدا می‌کند.

الگوریتم کوپله حلگر فشار مبنا

شکل -2: مراحل حل معادلات حاکم بر جریان با روش coupled در حلگر فشار مبنا

معرفی حلگر چگالی مبنا

در حلگرهای چگالی مبنا معادلات حاکم پیوستگی، ممنتم و در صورت نیاز انرژی و انتقال گونه‌های شیمیایی بصورت همزمان حل می‌شود. البته معادلات حاکم مربوط به اسکالرهای اضافی بصورت متوالی در هر تکرار حل می‌شود. روش حل دستگاه معادلات در این روش نیز بصورت سعی و خطا می‌باشد. بطور کلی مراحل حل معادلات حاکم در هر تکرار (شکل-3) عبارتست از:

  1. خصوصیات سیال و جریان بر اساس آخرین تکرار تصحیح می‌گردد. باید توجه داشت که در اولین تکرار این خصوصیات بر اساس شرائط اولیه در نظر گرفته می‌شود.
  2. معادلات پیوستگی، ممنتم و در صورت نیاز معادلات انرژی و گونه‌های شیمیایی بطور همزمان حل می‌شود.
  3. معادلات اسکالرهای اضافی نظیر آشفتگی و تشعشع براساس مقادیر متغیرها که در  آخرین تکرار محاسبه شده، حل می‌گردد.
  4. در مواقعی که کوپلینگ بین فازی (Interphase Coupling) نیز مد نظر باشد، ممکن است ترمهای چشمه مربوط به معادلات فاز پیوسته با محاسبه مسیر فاز گسسته تصحیح شود.
  5. همگرائی پاسخهای بدست آمده از تکرار جدید بررسی می‌شود.

مراحل فوق تا زمانیکه به همگرائی لازم برسد، تکرار می‌گردد.

الگوریتم حلگر چگالی مبنا

شکل-3: مراحل حل معادلات حاکم بر جریان با روش Coupled.

خطی‌سازی: ضمنی(Implicit) و صریح(Explicit)

در تمامی حلگرهای چگالی مبنا، معادلات حاکم غیر خطی برای تولید یک دستگاه معادلات برای محاسبه متغیرهای وابسته در هر المان محاسباتی، خطی‌ می‌شوند. با ایجاد این دستگاه معادلات خطی شده، میدان جریان حل می‌گردد. خطی‌سازی معادلات می‌تواند بصورت صریح و یا ضمنی باشد.

روش حل معادلات در فرمولاسیون ضمنی به این صورت است که برای محاسبه مقدار یک متغیر از تمام متغیرهای معلوم و مجهول المانهای همسایه استفاده می‌شود. بهمین خاطر هر مجهول در بیش از یک معادله ظاهر شده و باید یک دستگاه معادلات را برای تمام المانها، بطور همزمان حل کرد. در صورتیکه در روش صریح، مقدار یک متغیر تنها براساس مقادیر معلوم سایر متغیرها محاسبه می‌گردد. در این روش هر مجهول تنها در یک معادله ظاهر شده و نیازی به حل دستگاه معادلات نمی‌باشد.

در حلگر Coupled امکان استفاده از یکی از الگوریتمهای صریح یا ضمنی وجود دارد. معادلات حاکم مربوط به اسکالرهای اضافی نظیر آشفتگی، تشعشع و غیره، بصورت ضمنی و همانند فرایند Segregated حل می‌شود. صرفنظر از انتخاب نوع الگوریتم صریح یا ضمنی، مراحل حل مسئله از نمودار نشان داده شده در شکل (3) پیروی می‌کند.

اگر از الگوریتم ضمنی در حلگر Coupled استفاده شود، در هر المان، هر معادله براساس تمام متغیرهای وابسته و بصورت ضمنی خطی‌سازی  می‌گردد. نتیجه امر اینست که برای هر المان محاسباتی N معادله باید حل شود که N بیانگر تعداد متغیرهای وابسته است. از آنجا که در حلگر Coupled، برای هر المان باید N معادله بصورت همزمان حل شود لذا دستگاه معادلات تولید شده با عنوان دستگاه معادلات بلوکی شناخته شده است. برای حل میدان جریان با این روش از الگوریتم گوس-سایدل بلوکی بهمراه حلگر  AMG استفاده می‌شود.

بعنوان مثال خطی‌سازی معادلات کوپله پیوستگی، ممنتم (سه معادله) و انرژی موجب ایجاد یک دستگاه معادلات (پنج معادله) با متغیرهای فشار، سرعت (سه مجهول) و دما می‌گردد. حل همزمان ین دستگاه معادلات باعث تصحیح مقادیر متغیرهای یاد شده خواهد شد. بطور کلی در روش ضمنی حلگر Coupled در هر تکرار تمام متغیرها (فشار، سرعت و دما) برای همه المانها بطور همزمان و با استفاده از یک دستگاه معادلات خطی، محاسبه می‌شود.

در فرمولاسیون صریح حلگر چگالی مبنا، تمام معادلات بصورت صریح خطی خواهد شد. همانند فرمولاسیون ضمنی، این روش نیز منجر به ایجاد سیستم معادلاتی با N معادله برای هر المان شده و این سیستم معادلات برای متغیرهای وابسته حل می‌شود. بعنوان مثال، معادله ممنتم در جهت x طوری نوشته می‌شود که سرعت در جهت x تابعی از مقادیر معلوم متغیرها باشد. بهمین خاطر دیگر نیازی به حلگر معادلات خطی نبوده و معادلات با استفاده از روش چند مرحله‌ای (رانگ-کوتا Rung-Kutta) حل خواهد شد. البته برای تسریع در همگرائی حل نیز می‌توان از روش چند شبکه‌ای Full Approximation Storage : FAS استفاده نمود. بطور خلاصه در روش صریح کوپله، تمامی متغیرها (فشار، سرعت و دما) در یک المان بطور همزمان حل می‌شود. باید توجه داشت که راهکار چند شبکه‌ای FAS یک جزء قراردادی برای الگوریتم صریح است. در حالیکه حلگر AMG یک جزء الزامی در روشهای ضمنی می‌باشد.

ویژگی‌های گسسته سازی صریح (Explicit)
  • برنامه نویسی و توسعه آسان‌تر
  • حافظه مورد نیاز کمتر
  • حساس‌تر نسبت به شرایط اولیه و شبکه تولید شده
  • پایداری کمتر نسبت به گسسته سازی ضمنی
  • نرخ همگرایی کمتر نسبت به روش ضمنی
  • مناسب برای مسائل بسیار حجیم (تعدا شبکه‌های محاسباتی بسیار زیاد)
ویژگی‌های گسسته سازی ضمنی (Implicit)
  • برنامه نویسی و توسعه پیچیده‌تر
  • حافظه مورد نیاز بیشتر
  • حساسیت پایین نسبت به شرایط اولیه و شبکه تولید شده
  • پایداری بیشتر نسبت به روش صریح
  • نرخ همگرایی بیشتر نسبت به روش صریح
  • برای مسائل بسیار حجیم (تعدا شبکه‌های محاسباتی بسیار زیاد) با چالش حافظه مواجه هستیم

//حلگرهای فشار مبنا و چگالی مبنا//

بازگشت

مطالب مرتبط

حل میدان‌های جریان‌های تراکم‌ناپذیر و تراکم پذیر با استفاده از نرم افزارهای CFD

حلگر فشار مبنا (Pressure-Based)

حلگر چگالی مبنا (Density-Based)

تئوری و روابط حاکم بر جریان تراکم ناپذیر

تئوری و روابط حاکم بر جریان تراکم پذیر

برای کسب اطلاعات بیشتر با ما تماس بگیرید

محمدرضا کلیچ