معادلات مشتقات جزئي هذلولوي

معادلات مشتقات جزئی هذلولوی (معادله موج)

Numerical Solution of Hyperbolic Partial Equations by Finite Difference Method

معادلات مشتقات جزئی هذلولوی بطور کامل در این نوشته توضیح داده شده است. به عبارت دیگر، دسته خاصی از معادلات دیفرانسیل جزئی که به معادلات دیفرانسیل دیفرانسیل جزئی هذلولوی معروف می‌باشد، در این پست مورد بررسی قرار گرفته است. همانطور که در اینجا اشاره شده، در معادلات ناویر-استوکس سه دسته معادلات دیفرانسیل جزئی سهموی، هذلولوی و بیضوی وجود دارد که بسته به ماهیت جریان یکی از این سه دسته معادلات بعنوان معادلات غالب ظاهر می‌شود. برای مثال، معادلات حاکم بر جریانهای مافوق صوت، غیر لزج و پایا جزء معادلات دیفرانسیلی هذلولوی می‌باشد.

معادله موج بارزترین نمونه معادلات دیفرانسیل جزئی هذلولوی بشمار می‌رود. در این مطلب پس از معرفی معادله موج و دسته بندی آن از لحاظ مرتبه و رفتار (اینکه معادله موج یک معادله هذلولوی است)، به حل تحلیلی آن نیز اشاره شده است. همچنین، حل عددی معادلات موج مرتبه اول و دوم با استفاده از روش تفاضل محدود و انواع متدهای صریح و ضمنی معرفی و پایداری آنها بررسی شده است.

معادله موج

معادله موج یک بعدی نشان داده شده در رابطه (1) یک معادله هذلولوی مرتبه دوم است. این معادله به عنوان یک معادله جابجایی خطی یک بعدی نیز معرفی می‌شود. معادله مذکور بیانگر انتشار امواجی است که با سرعت c و بطور یکنواخت منتشر می‌شود. معادله (1) به صورت دو معادله مرتبه اول (معادله 2) نیز نوشته می‌شود. بعبارت دیگر معادلات (2) را می‌توان از معادله (1) بدست آورد. در حقیقت معادلات (2) دو معادله مرتبه اول می‌باشد که ویژگی‌هایی شبیه معادله (1) دارد. با توجه به اینکه u=f(x,t) و با استفاده از قانون زنجیری می‌توان معادله (3) را استخراج نمود. ترکیب معادلات (2) و (3) دستگاه معادلات (4) را نتیجه می‌دهد. با صفر قرار دادن دترمینان ماتریس ضرائب دستگاه معادلات مذکور می‌توان به رابطه (5) رسید.

برای یک معادله موج مرتبه اول (معادله6) تنها یک مشخصه حقیقی (dx/dt=c) وجود دارد (شکل 1). بنابراین، با توجه به معادله (2)، که به نوعی بیانگر رفتار معادله موج می‌باشد، معادلات هذلولوی خطی مربوط به موجهایی است که با سرعت c± در جهت‌های مثبت و منفی x در صفحه (x, t) انتشار می‌یابد (شکل 2). از این رو، مشخصات معادله مذکور در نقطه p بصورت شکل (2) نشان داده شده است.

از شکل‌های (1) و (2) می‌توان اینگونه استنباط کرد که برای معادلات هذلولوی مرتبه اول و همچنین معادله موج، خطوط مشخصه به حل محلی وابسته نبوده و بصورت خط راست می‌باشد. در نتیجه خطوط مشخصه نشان داده شده در شکل (2) ناحیه محاسباتی را به سه دامنه سکوت(Domain of Silence) ، تأثیر گذار(Domain of Influence) و وابسته(Domain of Dependence) تقسیم می‌کند.

البته خطوط مشخصه در برخی مسائل به حل محلی وابسته است و انحنا دارد. بعنوان مثال، معادلات حاکم بر جریان پتانسیل تراکم‌پذیر دو بعدی را می‌توان براساس مؤلفه‌های سرعت، بصورت معادلات (7) و (8) بازنویسی کرد. برای سیستم معادلات مذکور دو مقدار مشخصه وجود دارد که شیب آنها براساس رابطه (9) محاسبه می‌شود.

از آنجا که در معادله (9) dy/dx به u و v وابسته بوده و این دو کمیت نیز تابعی از مکان است، لذا خطوط مشخصه محاسبه شده در این معادله به حل محلی وابسته بوده و انحنا دارد [1].

حل تحلیلی معادله موج

بمنظور درک بهتر و مقایسه بین روش‌های عددی با روش تحلیلی، در این جا معادله موج بطور تحلیلی و با استفاده از روش دآلمبرت (D’Alembert) توضیح داده می‌شود[2]. دستگاه معادلات (10) بیانگر معادله موج مرتبه دو و شرائط اولیه آن می‌باشد. برای حل تحلیلی آن می‌توان از انتقال فوریه (انتقال x) و یا انتقال لاپلاس (انتقال t) استفاده کرد. در همین راستا، سیستم دستگاه معادلات (10) در طی مراحل زیر حل می‌شود.

مرحله اول: تغییر متغیرهای (x,t) به متغیرهای (ξ,η)

برای حل دستگاه معادلات (10)، متغیرهای مستقل (x,t) با متغیرهای جدید مکانی-زمانی،(ξ,η) و بصورت معادله (11) جایگذاری می‌شوند. به راحتی و با استفاده از قانون زنجیره‌ای معادله (12) حاصل می‌شود. با قرار دادن روابط (12) در معادله موج (رابطه اول دستگاه معادلات10) رابطه (13) نتیجه گرفته می‌شود.

مرحله دوم: حل معادلات انتقال یافته

با توجه به روابط (12) می‌توان به این نکته پی برد که تابع u(ξ,η) حتماً باید ترکیبی از دو تابع تک متغیره ξ و η باشد و در نتیجه رابطه (14) در دستگاه انتقال یافته حاکم است:

ϕ(η) و ψ(ξ) توابع دلخواهی از η و ξ می‌باشد.

مرحله سوم: بازگشت به دستگاه مختصات اصلی

برای یافتن پاسخ کلی برای دستگاه معادلات (10)، کافیست که روابط پیشنهادی در معادله (11) در معادله (14) جایگذاری شود. بنابراین پاسخ کلی به صورت معادله (15) می‌باشد:

مرحله چهارم: جایگذاری پاسخ کلی در شرائط اولیه

پس از دستیابی به پاسخ کلی و جایگذاری در شرائط اولیه (معادله10) می‌توان به معادلات (16) رسید. با انتگرال گیری از رابطه دوم معادله (16)، توابع و به صورت روابط (17) بازنویسی می‌شوند. در نهایت حل دقیق معادله موج با شرائط اولیه تعریف شده در دستگاه معادلات (10) طبق معادله (18) بدست می‌آید.