مدل برخورد روش المان گسسته

مدل برخورد روش المان گسسته

Discrete Element Method Collision Model

مدل برخورد روش المان گسسته برای محاسبه اجسام دانه دانه (همانند شن، پودر زغال سنگ و هر ماده دانه‌‌ای شکل) مناسب است. در چنین شبیه سازی‌هایی که با  کسر حجمی بالای ذرات همراه هستند، اثر برخورد ذرات و اندرکنش بین آن‌ها مهم و غیر قابل چشم‌پوشی است. توجه داشته باشید که تعامل ذرات با جریان سیال ممکن است مهم باشد یا نباشد. به هر صورت مهمترین کاربردهای این متد عبارتند از:

• قیف‌ها (Hoppers)
• رایزرها (Risers)
• بسترهای بسته‌بندی شده (Packed Beds)
• بسترهای سیالی (Fluidized Beds)
• حمل و نقل پنوماتیک (Pneumatic Transport)

قابل توجه است در نرم افزار Fluent امکان استفاده از مدل برخورد روش المان گسسته (DEM) به عنوان بخشی از ماژول DPM وجود دارد.

 

تئوری مدل برخورد روش المان گسسته

قابلیت‌های DEM به شما اجازه می‌دهد که ذرات متحرک را همچون نقاط جرمی متحرک شبیه سازی کنید در حالیکه از شکل و حجم آن صرف‌نظر می‌کنید. باید توجه داشت که در این مدل از جزئیات جریان در اطراف ذره (به عنوان مثال جریان گردابی، جدایی جریان و لایه مرزی) صرف نظر می‌شود. با استفاده از قانون دوم نیوتن، معادلات دیفرانسیل معمولی حاکم بر حرکت ذرات در قالب روابط (467) و (468) تعریف می‌شود.

مدل DEM مورد استفاده در نرم افزار Fluent براساس تحقیقات کاندال (Cundall) و استارک (Stark) پیاده‌سازی شده [1] و برای محاسبه نیروهای ناشی از برخورد ذرات (که به روش کره-نرم (Soft-Sphere) معروف است) به کار می‌رود. نیروی حاصل از برخورد ذرات از تغییر شکل ذرات که از روی تداخل (Overlap) بین جفت کره (شکل-1) یا بین ذره و مرز دیوار اتفاق می‌افتد، اندازه‌گیری می‌شود.

شکل-1: نمایش ذرات به صورت کره همراه با اندرکنش بین آن‌ها.

انواع نیرو‌های برخوردی قابل شبیه سازی توسط مدل DEM عبارتند از:

• فنر (Spring)
• فنر و کمک فنر (Spring-dashpot)
• هرتزیان (Hertzian)
• هرتزیان و میراگر (Hertzian-dashpot)
• اصطکاک (Friction)
• اصطکاک غلتشی (Rolling friction)

اندازه ثابت فنر باید به گونه‌ای انتخاب شود که هم شرایط برخورد را ارضاء کند و هم باعث شود تا ناحیه تداخل دو ذره در مقایسه با قطرهای آن‌ها خیلی بزرگ نباشد. با استفاده از رابطه (469) می‌توانید مقدار ثابت فنر را تخمین بزنید.

در رابطه فوق D قطر ذره، ρ چگالی ذره، v سرعت نسبی بین دو ذره برخورد کننده و ε_D کسر قطر قابل قبول تداخل ذرات است. مقیاس زمانی برخورد به صورت π√(m/k) که در آن m جرم ذره است، تعریف می‌شود. m نیز از رابطه ρD³π/6 محاسبه می‌شود.

 

قانون برخورد فنر (Spring Collision Law)

برای قانون برخورد فنر خطی، یک بردار واحد (e₁₂) از ذره 1 به ذره 2 تعریف می‌شود (معادله 470). در این معادله X₁ و X₂ بیانگر موقعیت ذرات 1 و 2 هستند. تداخل δ (که در طول برخورد کوچک‌تر از صفر است) از معادله (471) که در آن r₁ و r₂ به ترتیب اندازه‌ شعاع‌های ذرات 1 و 2 می‌باشند، تعیین می‌شود. سپس نیرو در ذره 1 با استفاده از ثابت فنر، K، که شما تعریف کردید و البته باید بزرگتر از 1 صفر هم باشد، از رابطه (471) به دست می‌آید. در ادامه و با استفاده از قانون سوم نیوتن، نیروی اعمالی بر ذره دوم از رابطه (473) محاسبه می‌شود. باید توجه داشت که بردار F₁ در جهت دور شدن از ذره 2 می‌باشد. چرا که δ در زمان برخورد کوچک‌تر از صفر است.

 

قانون برخورد فنر-کمک‌فنر (Spring-Dashpot Collision Law)

قانون برخورد فنر-کمک فنر یک قانون نیروی فنری خطی (توضیح داده شده در قسمت قبل) است که با یک ترم میراکننده یا (همان کمک فنر Dashpot) معرفی شده در این قسمت، ترکیب می‌شود. برای قانون برخورد فنر-کمک‌فنر  شما باید یک ثابت فنر، k، را همانند قانون فنری همراه با یک ضریب بازگشت، η، برای کمک‌فنر (میرا کننده) تعریف کنید. برای محاسبه نیروی عبارت‌های نشان داده شده در معادله (474) تا (478) محاسبه می‌شوند.

در روابط فوق f_loss ضریب اتلاف، m₁ و m₂ به ترتیب جرم‌های ذرات 1 و 2، m₁₂ جرم کاهش یافته (Reduced Mass)، t_coll مقیاس زمانی برخورد، v₁ و v₂ به ترتیب سرعت‌های ذرات 1 و 2، بردار v₁₂ سرعت نسبی و در نهایت γ هم ضریب میرایی می‌باشد. باید توجه داشت که γ≥0 باشد چراکه ln(η)≤0 است. با توضیحات قبلی ارائه شده در قسمت قبل، نیروی وارد بر ذره 1 از معادله (479) و نیروی وارد بر ذره 2 از رابطه (473) محاسبه می‌شود.

 

قانون برخورد هرتزیان (Hertzian Collision Law)

قانون برخورد هرتزیان [2] یک قانون برخورد غیر خطی است. با همان نوشتار بیان شده در قسمت قانون فنری، نیروی اعمالی روی ذره 1 را می‌توان از رابطه (480) محاسبه نمود. در اینجا K_H از مود‌های یونگ E₁ و E₂ ذرات برخورد کننده و نسبت پوآسون ν₁ و v₂ محاسبه می‌شود (معادله 481). واحد مدول‌های یونگ پاسکال و مرتبه اندازه آن‌ها معمولا از 1 تا 100 گیگا پاسکال می‌باشد. نسبت پوآسون یک ثابت بدون بعد و در محدوده 0.5 تا 1 تعریف می‌شود. نیروی وارده بر دره F2 نیز از معادله 473 قابل محسابه است.

 

قانون برخورد هرتزیان و میراگر (Hertzian-Dashpot Collision Law)

قانون برخورد هرتزیان و میراگر یک تابع غیر خطی نیروی برخورد است که همانند رابطه (481) به علاوه‌ی یک ترم میرایی همانند قانون برخورد فنر/کمک‌فنر می‌باشد. به عبارت دیگر معادله (480) به صورت معادله (482) تصحیح می‌شود.  نیروی وارد بر ذره 2 هم از معادله (473) محاسبه می‌شود.

 

قانون برخورد اصطکاکی (Friction Collision Law)

قانون برخورد اصطکاکی براساس معادله اصطکاک کولمب (Coulomb)، با نوشتار F_friction، بنا نهاده شده است (رابطه 483). در این رابطه μ ضریب اصطکاک و F_normal اندازه نیروی عمود بر سطح می‌باشد. جهت نیروی اصطکاک هم مخالف جهت حرکت مماسی نسبی است و ممکن است مماسی نسبی را بسته به موارد زیر مهار کند یا خیر.

• اندازه ممنتم مماسی
• سایر نیروهای مماسی (به عنوان مثال مؤلفه‌های مماسی نیروهای درگ و جاذبه)

که μ_stick: ضریب اصطکاک چسبندگی،

μ_glide: ضریب اصطکاک سرشی (Gliding)،

μ_limit: ضریب اصطکاک حدی سرعت بالا،

V_glide: سرعت سرشی — برای سرعت‌های پایین μ میانیابی مربعی بین μ_stick و μ_glide می‌باشد،

V_limit: سرعت حدی – برای سرعت‌های بالا μ(V_r) به μ_limit می‌رسد،

Slope_limit: پارامتری است که سرعت رسیدن μ(V_r) به μ_limit را مشخص می‌کند.

برای مثال نمودار μ(V_r)  در شکل (1) نشان داده شده است.

شکل-1: مثالی از تغییرات ضریب اصطکاک نسبت به سرعت.

 

قانون برخورد اصطکاک غلتشی (Rolling Friction Collision Law)

قانون برخورد اصطکاک غلتشی به صورت بسطی از قانون برخورد اصطکاکی مبتنی بر معادله اصطکاک کولمب (Coulomb) ارائه شده است (معادله 484).

که μ_rolling ضریب اصطکاک غلتشی و F_normal اندازه نیروی عمودی اعمال شده بر سطح ذره یا بیانگر بردار نیرو از مرکز ذره به سمت خارج می‌باشد. بردارد نیروی اصطکاکی غلتشی، F_rolling، تنها روی گشتاور محلی ذره-ذره یا نقطه برخورد ذره-دیواره اثرگذار است. بسته به مقدار گشتاور نسبی این نیرو ممکن است سرعت زاویه نسبی را مهار کند یا نکند.

 

پارسل‌های DEM

برای کاربردهای معمولی، محاسبات مرتبط با رصد تک تک ذرات بسیار پر هزینه است. به جای آن راهکار روش المان گسسته مشابه با روش DPM است که در آن ذرات به پارسل‌ها دسته بندی شده و موقعیت هر پارسل توسط یک ذره نماینده تعیین می‌شود. اما به هر صورت در این خصوص روش DEM با DPM در موارد زیر متفاوت است:

• جرم استفاده شده در محاسبات DEM در برخوردها، جرم تمام ذرات است نه فقط ذره منفرد نماینده.
• شعاع پارسل DEM به اندازه‌ای است که حجم کره متناظر با آن جرم کل پارسل تقسیم بر چگالی ذره (ذرات متفاوت) برابر باشد.

 

مش برخورد کارتزین (Cartesian Collision Mesh)

هنگام ارزیابی برخورد پارسل‌ها، ارزیابی مستقیم نیرو که شامل همه بسته‌ها می‌شود بسیار پر هزینه است. قابل توجه است که برای N پارسل، تعداد جفت‌هایی که باید برای هر مرحله زمانی بررسی شوند N² جفت خواهد بود. با توجه به این موضوع، از یک راهکار هندسی استفاده می‌شود که در آن دامنه به شبکه کارتزین مناسب تقسیم‌بندی می‌شود (که طول وجه هر المان شبکه مضربی از بزرگترین قطر پارسل‌ها است). بنابراین، تنها برای پارسل‌های موجود در سلول‌های شبکه هم‌جوار ارزیابی مستقیم نیروی صورت می‌پذیرد. چراکه پارسل‌های موجود در المان‌های دورتر شبکه برخورد مستقیمی با پارسل مورد بررسی ندارند (شکل-2).

شکل-2: ملاحظات محاسبات نیروی برخرود بین پارسل‌ها در مش برخورد کارتزین.

 

:[1]

P. A. Cundall and O. D. L. Strack. “A Discrete Numerical Model for Granular Assemblies”. Geotechnique. 29. 47–65. 1979

:[2]

H. Hertz. “Über die Berührung fester elastischer Körper”. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 92. 156-171. 1881