شبکه(مش) بندی باسازمان بیضوی

Elliptic Structured Mesh Generation

در شبکه(مش) بندی باسازمان بیضوی از معادلات دیفرانسیل جزئی بیضوی برای تولید شبکه استفاده می‌شود. مختصات x و y نقاط شبکه در فضای فیزیکی است. بنابراین، در یک فضای بسته، توزیع گره‌ها روی مرزها مشخص شده و از حل دستگاه معادلات بیضوی توزیع گره‌های داخلی شبکه به دست می‌آید. برای درک بهتر، دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی بیضوی حاکم بر دامنه محاسباتی در روابط (29) و (30) نشان داده شده است. در این معادلات ξ و η مؤلفه‌های مختصات در دامنه محاسباتی هستند. معادلات (29) و (30) را می‌توان با یکی از روش‌های تشریح شده در اینجا حل کرد. در هر صورت، محاسبات باید در یک قلمرو مستطیلی با فواصل یکنواخت انجام شود. برای تبدیل معادلات دیفرانسیل جزئی بیضوی، متغیرهای وابسته و مستقل باید جا به جا شوند. عبارتهای ریاضی مرتبط در مرجع[3] آمده است. معادلات بیضوی (29) و (30) به صورت (30) و (31) نوشته می‌شوند:

دستگاه معادلات بیضوی (31) و (32) در فضای محاسباتی (ξ, η) حل می‌شود تا مختصات نقاط شبکه در فضای فیزیکی (x, y) به دست آید. باید دانست که این معادلات غیر خطی هستند. بنابراین، باید از یک روش خطی‌سازی استفاده نمود. برای سادگی از روش تأخیری برای ضرائب استفاده می‌شود. به عبارت دیگر ضرائب a، b و c از نتایج تکرار قبل محاسبه می‌شود.

قلمروهای فیزیکی را می‌توان به نواحی هم‌بند ساده، هم‌بند دوگانه و هم‌بند چندگانه تقسیم کرد. تولید شبکه با روش‌های معادلات دیفرانسیل جزئی در هر یک از این نواحی متفاوت است. به همین منظور در ادامه سه ناحیه فوق مورد بررسی قرار خواهد گرفت.

ناحیه هم‌بند ساده

ناحیه هم‌بند ساده به ناحیه‌ای گفته می‌شود که بتوان آن را به یک نقطه تبدیل کرد. مثالهایی از این نوع ناحیه به‌ همراه دامنه محاسباتی متناظر با آن در شکل‌های (10) و (11) نشان داده شده است.

برای بررسی چند روش حل تکراری، معادلات تفاضل محدود را با تقریب زدن معادلات دیفرانسیل جزئی به کمک عبارتهای تفاضل محدود مرکزی مرتبه دوم به دست می‌آوریم. بنابراین، از معادله (31) معادله (36) استخراج می‌شود. از روش تکراری گوس-سایدل، معادله (36) به صورت (37) بازنویسی می‌شود. با مرتب کردن این رابطه معادله (38) حاصل می‌شود. به طریق مشابه از معادله (32) به معادله (39) می‌رسیم.

ی

برای شروع حل باید توزیع اولیه مختصات x و y نقاط شبکه در فضای فیزیکی داده شود. همان گونه که قبلاً اشاره شد، می‌توان از یک شبکه جبری بعنوان حدس اولیه برای تولید شبکه باسازمان با روش دیفرانسیل جزئی استفاده کرد. ضرائب a، b و c که در معادلات (38) و (39) ظاهر می‌شوند، با استفاده از تقریب تفاضل محدود معادلات (33) تا (35) به دست می‌آیند. در این معادلات، مقادیر x ، y با توزیع اولیه این مقادیر برای تکرار اول تأمین گشته و به دنبال آن از روی مقادیر تکرار قبلی محاسبه می‌شوند، به این معنی که محاسبه ضرائب همواره یک گام عقب‌تر است. روش تکرار آنقدر ادامه می‌یابد تا معیار خاصی ارضا شود. بر همین اساس، خطای کلی به صورت زیر به دست می‌آید:

در معادلات فوق k مرحله تکرار را نشان می‌دهد. معیار همگرایی به صورت ERRORT<ERRORMAX است که در آن مقدار مشخصی برای ERRORMAX تعریف می‌شود. البته، برای حل دستگاه معادلات (31) و (32) از روش‌های تکرار دیگر نیز می‌توان استفاده کرد. بعنوان مثال، فرمولاسیون روش تکرار گوس-سایدل خط به خط برای این دستگاه‌های معادلات در قالب روابط (40) و (41)نوشته می‌شود. همچنین، برای روش تکرار خطی خلاصی (42) و (43) حاکم هستند.

ناحیه هم‌بند دو گانه

طبق تعریف، ناحیه همبند دوگانه به ناحیه‌ای گفته می‌شود که نتوان آن را کاهش داد. به عبارت دیگر ناحیه‌ای که شامل یک بدنه در قلمرو فیزیکی باشد، یک ناحیه همبند دوگانه است. به عنوان مثال، شبیه‌سازی جریان حول ایرفویل در شکل (10). ناحیه همبند دوگانه را می‌توان به راحتی و با استفاده از یک برش به یک ناحیه همبند ساده تبدیل کرد. در این کار، برشی از مرز خارجی به مرز داخلی انجام می‌شود (شکل 12). در این شکل، برای باز کردن قلمرو فیزیکی و تبدیل آن به قلمرو مستطیل شکل در فضای محاسباتی باید از برش خط AC استفاده کرد و با تبدیل آن به شکل (13)، با تعیین متریک‌ها و ژاکوبین مربوطه آن را مطابق شکل نهایی (14) تغییر داد.

شکل-12: نمونه‌ای از قلمرو فیزیکی یک ناحیه هم‌بند دوگانه[1].

شکل-13: چگونگی بازکردن ناحیه هم‌بند دوگانه شکل[1].

شکل-14: دامنه محاسباتی متناظر با قلمرو فیزیکی شکل [1].

روش حل همانند روش بکار رفته در شبکه بندی ناحیه همبند ساده است، با این مفهوم که لازمست توزیع نقاط شبکه روی مرزها در فضای فیزیکی و همچنین توزیع اولیه نقاط داخلی معلوم باشد. تفاوت بارز و مشخص در بررسی نقاط مرزی B₃ و B₄ است. به عبارت دیگر، این نقاط باید در محل برش‌ها شناور باشند، یعنی موقعیت نقاط روی خط AC باید تجدید شود. این تجدید به معنی محاسبه مقادیر جدید x_{1, j} و y_1,j بعد از هر مرحله تکرار است. مقادیر x_{IM, j} و y_{IM, j} نیاز به محاسبه ندارد، زیرا خطوط i=1 و i=IM برهم منطبق هستند. بنابراین، x_{IM, j}= x_{1, j} و y_{IM, j}= y_{1, j}. با استفاده از روش گوس-سایدل، x_{1, j} و y_1,j از معادلات (44) و (45) محاسبه می‌شود.

در روابط فوق، IM1=IM-1 می‌باشد. بعد از هر تکرار از این معادلات برای محاسبه موقعیت نقاط شبکه در امتداد خط برش استفاده می‌شود. باید دانست که اگر نقاط شبکه در امتداد خط برش ثابت در نظر گرفته شوند، اعوجاج شدیدی در آن امتداد ایجاد می‌شود که نامطلوب است.

ناحیه هم‌بند چندگانه

روشی را که در ناحیه هم‌بند دوگانه استفاده شد می‌توان در ناحیه هم‌بند چندگانه نیز بکار برد. در یک ناحیه هم‌بند چندگانه بیش از یک بدنه در داخل قلمرو فیزیکی قرار دارد. برای انجام این کار، قلمرو هم‌بند چندگانه به یک یا چند قلمرو ساده تبدیل می‌شود. برای مثال، قلمرو فیزیکی نشان داده شده در شکل (15) در ابتدا به یک حالت انتقالی (شکل 16) و سپس به یک فضای محاسباتی (شکل 17) تبدیل می‌شود.

شکل-15: نمونه‌ای از قلمرو فیزیکی برای یک ناحیه هم‌بند چندگانه [1].

شکل-16: چگونگی بازکردن ناحیه هم‌بند چندگانه شکل (15)[1].

شکل-17: دامنه محاسباتی متناظر با قلمرو فیزیکی شکل (15)[1].

پس از تبدیل ناحیه هم‌بند چندگانه به ناحیه هم‌بند ساده، سیستم دستگاه معادلات (31) و (32) با یکی از روشهای تکرار حل می‌شود. چگونگی تعیین نقاط مرزی و توزیع اولیه نقاط شبکه همانند آنچه که در روش به کار رفته در ناحیه هم‌بند دوگانه گفته شده، می‌باشد.

کنترل دستگاه مختصات

معادلات دیفرانسیل جزئی بیضوی (29) و (30) دارای هیچ‌گونه امکان کنترل شبکه (جهت ریز یا درشت کردن آن در قسمت‌های خاص)نیستند. از طرفی، موقعیت نقاط روی بدنه جسم و روی مرز خارجی به عنوان ورودی مطرح است. برای کنترل نقاط داخلی شبکه می‌توان از معادله پوآسون استفاده نمود. مبنای این امر همان است که در ابتدای این بخش به آن اشاره شده و مجدداً در این قسمت بطور خلاصه مورد بررسی قرار می‌گیرد. برای مثال، انتقال حرارت هدایتی در حالت دو بعدی را در نظر بگیرید. با تغییر مکان و قدرت چشمه حرارتی، خطوط هم دما تغییر می‌کند.

این منطق به روش تولید شبکه با معادلات دیفرانسیل بیضوی تعمیم داده می‌شود. از این رو، یک عبارت چشمه به سمت راست معادلات (29) و (30) اضافه می‌شود. معادلات پوآسون حاصل به صورت روابط (46) و (47) تبدیل می‌شوند. از آنجا که این معادلات در یک قلمروی مستطیلی با فواصل شبکه مساوی حل می‌شوند، تبدیل معادلات و شرائط مرزی ضروری است. برای این‌کار از معادلات به دست آمده در پیوست (e) مرجع [1] استفاده می‌شود که حاصل ان معادلات تبدیل یافته (48) و (49) می‌باشد.

اگر P و Q معلوم باشند، این معادلات بیضوی با هر روش تکرار قابل حل خواهد بود. توابع P و Q بسته به نوع نیاز انتخاب می‌شود. نیاز ممکن است ایجاد تراکم در یک جای خاص یا عمود کردن خطوط شبکه بر سطوح جسم باشد. در ادامه دو مورد از حالتهای ممکن مورد بررسی قرار می‌گیرد.

ایجاد تراکم در نقاط شبکه

‌با انتخاب توابع P و Q، می‌توان تراکم لازم را در شبکه ایجاد کرد. انتخاب براساس کشیدن خطوط شبکه به سمت یک خط خاص یا یک نقطه خاص یا ترکیبی از این دو است. برای مثال، ممکن است که بخواهیم نقاط شبکه را در نزدیکی خط η_i یا نقطه (ξ_i, η_i) متراکم کنیم. تابعی با چنین قابلیتی در مرجع [1] معرفی شده است. روابط مربوط در شکل نهایی به صورت معادلات (50) و (51) با فرض Δη=Δξ=1 نوشته می‌شود. در غیر اینصورت معادلات (52) و (53) حاکم خواهد بود.

در روابط فوق a و b ضرائب تقویت (Amplification Factor) و c و d ضرائب استهلاک (Decay Factor) هستند که به عنوان ورودی برنامه مشخص می‌شوند. همچنین، NI یا M تعداد خطوط شبکه (ξ یا η) است که تراکم حول آنها اعمال می‌شود و IAL(IS) و JAL(IS) مشخص کننده خط‌ها است. مشابه با آن، NJ یا N تعداد گره‌های شبکه است که در اطراف آنها تراکم اعمال می‌شود و بنابراین IAL(IS) و JAL(IS) مشخص کننده گره‌ها است [1].

عمود بودن خطوط شبکه بر سطوح

در قسمت قبل چگونگی متراکم سازی شبکه مورد بررسی قرار گرفت. اما، باید توجه داشت وجود اعوجاج ناشی از تراکم‌سازی در خطوط شبکه (به ویژه روی سطوح) ممکن است برای بعضی کاربرها مناسب نباشد. مشکل وقتی بروز می‌کند که گرادیان عمود خواص در مرزها مورد نیاز باشد. برای غلبه بر این مشکل، از تابعی استفاده می‌شود که عمود بودن خطوط شبکه را بر سطوح ایجاد کند. شبکه حاصل، محاسبه گرادیان‌های عمودی را بر روی مرزها ساده‌تر کرده و دقت را افزایش می‌دهد. یکی از توابع پیشنهادی در معادلات (54) و (55) آمده است. در این روابط a و b ثابت‌های مثبت بوده و p₁ و q₁ به فرم معادلات (56) و (57) تعریف می‌شوند. در نهایت معادلات دیفرانسیل جزئی پاره‌ای بیضوی با این توابع به صورت معادلات (60) و (61) نوشته می‌شود.

مسئله اصلی اینست که چگونه محدودیت‌های لازم را برای عمود بودن خطوط شبکه و تراکم آن‌ها به کار برد. در همین راستا نخست، عمود بودن شبکه خطوط ξ شبکه را روی سطوح بدنه در (η=η₁) بررسی می‌کنیم. این شرائط منجر به رابطه (62) می‌شود. θ=90 شرط تعامد خطوط شبکه در این معادله است. معادله مذکور را می‌توان به صورت رابطه (63) نیز بسط داد. با جایگزینی دیفرانسیل تبدیل متریک ها و ژاکوبین‌ها [1] معادله (64) به دست می‌آید. s فاصله تعریف شده در امتداد خطوط ξ ثابت (dξ=0)، بوده و طبق معادلات (65) یا (66) تعریف می‌شود.

برای حل معادلات بیضوی (60) و (61) عبارتهای سمت راست آن معادله باید محاسبه شود. در این روش لازمست R₁، R₂، P₁ و Q₁ در η=η₁ محاسبه شوند. از آنجا که خط η=η₁ روی سطح جسم است، توزیع نقاط در امتداد بدنه مشخص می‌شود. بنابراین، مشتق‌های ξ در امتداد سطح را می‌توان از روابط (67-70) محاسبه کرد. برای محاسبه مشتق‌های η، معادلات (64) و (66) برای x_n و y_n حل می‌شوند که می‌توان به روابط (71) و (72) رسید.

هرگاه θ=90 باشد، معادلات (71 و 72) فوق به ترتیب به روابط (73 و 74) ساده می‌شود. مشتق‌های دوم نسبت به η از معادلات (76) و (77) به دست می‌آیند.

در نتیجه همه مشتق‌های لازم در η=η₁ از محاسبه P₁ و Q₁ معلوم می‌شوند.

مشتق‌های مرتبه دوم درسمت چپ معادلات (60) و (61) از یک روش تکراری بدست می‌آیند (با عبارت‌های تفاضل مرکزی تقریب زده می‌شوند). مشتق‌های مرتبه اول که در سمت راست ظاهر می‌شوند با روابط پیش‌رو و یا پس‌رو تقریب زده می‌شوند. علت استفاده از این نوع تقریب جلوگیری از نوسان‌های ناشی از تقریب تفاضل مرکزی به خاطر مقادیر بزرگ P₁ و Q₁ است. برای مثال، اگر P₁ مثبت باشد، x_ξ و y_ξ با تفاضل پیش‌رو تقریب زده می‌شوند و اگر منفی باشد، از تفاضل پس‌رو استفاده می‌شود. به همین ترتیب، اگر Q₁ مثبت باشد، x_η و y_η با تفاضل پیش‌رو تقریب زده می‌شود و در غیر این‌صورت، تفاضل پس‌رو به کار می‌رود.

با توجه به مطالب یاد شده، فواید تولید شبکه باسازمان با استفاده از این روش عبارت‌اند از:

این روش توانایی ایجاد شبکه هموار را دارد. به عبارت دیگر، اگر در مرزها ناپیوستگی وجود داشته باشد، هموارسازی توسط قلمرو داخلی انجام می‌شود.
قابلیت‌های متعددی برای ایجاد تراکم و تعامد در سطوح وجود دارد.
این روش را می‌توان به راحتی به حالت سه بعدی تعمیم داد.

البته روش مذکور محدودیت‌های نیز دارد که از مهمترین آن‌ها می‌توان به موارد زیر اشاره نمود:

زمان محاسبات در این روش نسبت به روش‌های جبری و هذلولوی به طور قابل توجهی بیشتر است.
مشخص کردن توابع P و Q و یا ثابت‌های این توابع کار آسانی نیست.
متریک‌ها باید در این روش به صورت عددی محاسبه شود.

شبکه(مش) بندی باسازمان بیضوی