مدل سطح اختلاط

Mixing Plane Model

مدل سطح اختلاط به عنوان جایگزینی برای مدل قاب مرجع چندگانه و مدل مش (شبکه) لغزان (Sliding Mesh) در شبیه‌سازی جریان در نواحی همراه با حرکت نسبی توسعه یافته است. در اینجا قصد داریم کلیاتی از این مدل و محدودیت‌های آن را ارائه کنیم.

کلیات مدل سطح اختلاط

همانطور که در مدل قاب‌های مرجع چندگانه توضیح داده شد مدل MRF زمانی قابل استفاده است که جریان در مرز مشترک بین نواحی ثابت و متحرک تقریبا یکنواخت باشد. به عبارت دیگر جریان‌های نواحی مختلف در مرز مشترک کاملا با هم مخلوط شده باشند (Mixed Out). در غیر این صورت ممکن است حتی شاهد ارائه نتایج غیر فیزیکی از این مدل باشیم. از طرفی اگر چه ممکن است مدل شبکه لغزان برای چنین مواردی مناسب باشد اما در بسیاری از موارد استفاده از مدل مذکور عملی نیست. به عنوان مثال در یک توربوماشین چند مرحله‌ای اگر تعداد تیغه‌ها در هر ردیف متفاوت باشد، برای حفظ تناوب محیطی به تعداد زیادی گذرگاه بین تیغه‌ها برای محاسبات پریودیک نیاز است. علاوه بر این محاسبات شبکه لغزان قطعا ناپایاست و در نتیجه برای رسیده به یک پاسخ نهایی و متناوب به محاسبات بسیار بیشتری نیاز است. در چنین شرایطی مدل سطح اختلاط می‌تواند یک جایگزین مقرون به صرف باشد. به طور کلی مدل سطح اختلاف به نوعی شکاف بین مدل‌های MRF و شبکه لغزان را پر می‌کند.

در رویکرد سطح اختلاط، هر ناحیه سیال به صورت یک مسئله پایا در نظر گرفته می‌شود. اطلاعات میدان جریان در نواحی مجاور به عنوان شرایط مرزی به یکدیگر منتقل می‌شوند که در سطح اختلاط از نظر مکانی میانگین گیری یا مخلوط می‌شوند. این اختلاط هر گونه ناپایایی پارامترها را که به دلیل تغییرات محیطی در میدان جریان عبوری به مسئله ایجاد می‌شود (همانند دنباله‌های (Wakes)، امواج ضربه‌ای و جریان‌های جدا شده)، از بین می‌برد. بنابراین نتایج به دست آمده پایا خواهند بود. علی رغم ساده‌سازی‌های ذاتی قابل توجه در مدل سطح اختلاط، نتایج به دست آمده می‌توانند تقریب‌های معقول و معتبری از میدان جریانی که میانگین‌گیری زمانی شده، ارائه کنند.

دامنه‌های روتور-استاتور

شماتیکی از ردیف‌های توربوماشین‌های محوری و شعاعی در شکل‌های (5) و (6) نشان د اده شده است. هر فضای بین تیغه‌ها شامل یک مرز پریودیک است. شکل (5) یک صفحه شعاعی ثابت در یک ردیف روتور-استاتور از یک توربوماشین محوری را نشان می‌دهد. در شکل (6) یک صفحه ثابت در یک دستگاه جریان مخلوط مربوط به یک توربوماشین شعاعی نشان داده شده است. در هر دو شکل هر یک از توربوماشین‌ها از دو ناحیه جریان تشکیل شده است. اول ناحیه دوار روتور با یک سرعت زاویه‌ای مشخص و دوم ناحیه استاتور که ثابت است. توجه داشته باشید که ترتیب قرار گیری روترو-استاتور یا استاتور-روتور در فرآیند محاسبات تفاوتی ندارد.

شکل-5: شماتیکی از اندرکنش روتور-استاتور محوری

شکل-6: شماتیکی از اندرکنش روتور-استاتور شعاعی

در شبیه سازی عددی با مدل سطح اختلاط، هر دامنه با یک شبکه جداگانه تعریف می‌شود. اطلاعات جریان بین این دامنه‌ها (نواحی) در مرز مشترک (اینترفیس) صفحه اختلاط (همانطور که در شکل‌های 5 و 6 نشان داده شده است) با یکدیگر کوپل می‌شوند. توجه داشته باشید که می‌توانید هر تعداد ناحیه سیال را به این ترتیب با یکدیگر کوپل کنید. برای مثال، چهار فضای بین تیغ‌ها را می‌توان با استفاده از سه صفحه اختلاط کوپل کرد.

توجه داشته باشید که نواحی استاتور و روتور دارای شبکه‌های جداگانه‌ای بوده که هر کدام دارای مرزهای ورودی و خروجی خاص خود هستند. شما می توانید این سیستم را به عنوان مجموعه‌ای از مدل های قاب مرجع منفرد (SRF) برای هر ناحیه تیغه‌ای در نظر بگیرید که با شرایط مرزی ارائه شده توسط مدل سطح اختلاط همراه می‌شود.

مفهوم سطح اختلاط

ایده اصلی مفهوم سطح اختلاط این است که هر ناحیه سیال به عنوان یک مسئله حالت پایا حل می‌شود. در برخی بازه‌های تکراری تعیین‌شده، داده‌های جریان در مرز مشترک سطح اختلاط در جهت محیطی در خروجی استاتور و مرز ورودی روتور میانگین‌گیری می‌شوند. در این مفهوم شما امکان انتخاب سه نوع روش میانگین‌گیری را دارید: میانگین‌گیری وزنی مساحت (Aera-Weighted Averaging) منطقه، میانگین‌گیری وزنی (Weighted Averaging) و میانگین‌گیری مختلط (Mixed-Out Averaging). با انجام میانگین‌های محیطی (circumferential averages) در حالت‌های شعاعی یا محوری مشخص، می‌توان «پروفایل» متغیرهای جریان در مرزها را تعریف کرد. سپس این پروفیل‌ها – که بسته به جهت سطح اختلاط تابع مختصات محوری یا شعاعی هستند- برای به روز رسانی شرایط مرزی در امتداد دو منطقه مرز مشترک سطح اختلاط استفاده می‌شوند. در مثال‌های نشان‌داده‌شده در شکل‌های (5) و (6) مشخصات میانگین فشار کل (Po)، کسینوس زوایای جریان محلی در جهت‌های شعاعی، مماسی و محوری (αr, αt, αz)، دمای کل (To)، انرژی جنبشی اغتشاش (k) و نرخ اتلاف تلاطم (ε) در خروجی روتور محاسبه و برای به روز رسانی شرایط مرزی در ورودی استاتور استفاده می‌شود. به همین ترتیب، پروفیل فشار استاتیک ( Ps)، کسینوس زوایای جریان محلی در جهت شعاعی، مماسی و محوری (αr, αt, αz) در ورودی استاتور محاسبه و به عنوان یک شرط مرزی در خروجی روتور استفاده می‌شود.

در محاسبه پروفیل‌ها به روشی که در بالا توضیح داده شد، فرض بر اینست که انواع شرایط مرزی خاص در مرز مشترک سطح اختلاط تعریف شده‌اند. در کوپلینگ سطح اختلاط مرز خروجی بالادست با یک مرز ورودی پایین دست متناظر با خود کوپل می‌شود. برای ایجاد کوپلینگ سطح اختلاط در نرم افزاری همچون Ansys Fluent، مرزهای خروجی (بالادست) و ورودی (پایین دست) باید از انواع زیر باشند:

انتخاب روش میانگین‌گیری

در مدل سطح اختلاط سه روش میانگین‌گیری داده ها در مرز مشترک بین نواحی موجود است که عبارتند از:

میانگین گیری مساحتی.
میانگین گیری جرمی
میانگین گیری مختلط

میانگین گیری مساحتی

میانگین گیری مساحتی که جزء پیش فرض میانگین گیری برای مدل سطح اختلاط در نرم افزار Fluent می‌باشد از رابطه زیر به دست می‌آید:

باید توجه داشته باشید که ممکن است فشار و دمای به‌دست‌آمده توسط میانگین گیری مساحتی بیانگر ممنتم و انرژی جریان نباشد.

میانگین گیری جرمی

میانگین گیری جرمی با استفاده از معادله (19) انجام می‌شود.

این روش دقت بیشتری از مقادیر کل را نسبت به روش میانگین گیری مساحتی ارائه می دهد. البته در مواقعی که شاهد جریان برگشتی قوی در سطح اختلاط مرز مشترک باشیم، احتمالا با مشکلات همگرایی مواجه خواهیم شد. بنابراین، برای رسیدن به پایداری حل، بهتر است ابتدا با استفاده از میانگین‌گیری مساحتی حل را شروع کنیم، سپس پس شکل گرفتن جریان معکوس، از میانگین‌گیری جرمی برای افزایش دقت استفاده کنیم.

* قابل توجه است که میانگین گیری جرمی در مدل سطح اختلاط برای جریان‌های چند فازی قابل استفاده نیست.

میانگین گیری مختلط

روش میانگین گیری مختلط از بقای جرم، ممنتم و انرژی به دست می آید (معادلات 21). از آنجا که این روش بر اساس اصول بقا توسعه یافته است، لذا نمایش بهتری از جریان را ارائه می‌کند چراکه منعکس‌کننده تلفات مرتبط با غیر یکنواختی‌ها در پروفیل‌های جریان است. با این حال، مانند روش میانگین‌گیری جرمی، در مواقعی که جریان بازگشتی شدید در صفحه اختلاط وجود داشته باشد با مشکلات همگرایی در حل جریان مواجه خواهیم شد. بنابراین، بهتر است راه‌حل را با میانگین‌گیری سطح شروع کنید، سپس پس از پایان پدیده جریان معکوس، به میانگین‌گیری مختلط بروید.

در میانگین گیری مختلط فرض بر این است که سیال یک گاز ایده آل تراکم پذیر با گرمای ویژه Cp ثابت می‌باشد.
برای جریان‌های چند فازی میانگین گیری مختلط در دسترس نیست.

الگوریتم سطح اختلاط

الگوریتم استفاده از مدل سطح اختلاط به کار رفته در نرم افزار Ansys Fluent طبق مراحل زیر تعریف می‌شود:

حل‌های میدان جریان را در دامنه‌های استاتور و روتور به روز کنید.
میانگین خواص جریان در خروجی استاتور و مرزهای ورودی روتور و همچنین به دست آوردن پروفایل مقادیر جریان برای استفاده در به روز رسانی شرایط مرزی، مرحله دوم کار شما می‌باشد.
پروفایل ها را به ورودی‌های شرط مرزی مناسب برای خروجی استاتور و ورودی روتور منتقل کنید.
مراحل 1-3 را تا زمان همگرایی تکرار کنید.

توجه داشته باشید که ممکن است برای جلوگیری از واگرایی حل مسئله (به ویژه در اوایل محاسبات) تغییرات در مقادیر شرایط مرزی کمتر از “حد معمول آرام Under-Relax” شود. Ansys Fluent به شما این امکان را می دهد که آرام سازی کمتر (Under-Relaxation) متغیرهای سطح اختلاط را کنترل کنید.

بقای جرم

توجه داشته باشید که اگر مرزهای خروجی و ورودی دامنه‌ها در سطح اختلاط از نوع فشار خروجی و فشار ورودی باشند آنگاه الگوریتمی که در بالا توضیح داده شد، توانایی حفظ بقای جریان جرم در سراسر سطح اختلاط را نخواهد داشت. اگر به جای آن از مرزهای دبی جرمی ورودی و فشار خروجی استفاده کنید، این الگوریتم در Ansys Fluent ملزم به حفظ بقای جرم در سراسر سطح اختلاط می‌شود. تکنیک اصلی شامل محاسبه نرخ دبی جرمی در سراسر ناحیه بالادست (فشار خروجی) و تنظیم پروفیل شار جرم اعمال شده در ورودی جریان جرمی است به طوری که جریان جرمی پایین دست با جریان جرمی بالادست مطابقت داشته باشد. این تنظیم در هر تکرار (Iteration) اتفاق می افتد، بنابراین حفظ دقیق دبی جرمی در طول فرآیند محاسبات تضمین می‌شود.

توجه داشته باشید از آن جایی که دبی جرمی در این رویکرد ثابت است، شاهد یک جهش در فشار کل در سطح اختلاط خواهیم بود که البته اندازه این پرش در مقایسه با تغییرات فشار کل در سایر نقاط میدان جریان معمولاً کوچک است.

بقای چرخش

معمولا در مدل سطح اختلاط موضوع بقای چرخش در نظر گرفته نمی‌شود (در پیش فرض نرم افزار Fluent هم همین طور است). اما برای کاربردهایی مانند مبدل‌های گشتاور، که در آن مجموع گشتاورهای وارد بر اجزا باید صفر باشد، اعمال قانون بقای چرخش در سطح اختلاط ضروری است و در Ansys Fluent به عنوان یک گزینه مدل‌سازی موجود است. اطمینان از بقای چرخش مهم است، زیرا در غیر این صورت، ترم‌مهای چشمه یا چاه ممنتم مماسی در سطح مشترک سطح اختلاط پدیدار خواهند شد.

حجم کنترلی را در نظر بگیرید که شامل یک جزء ثابت یا متحرک است (مثلاً یک پروانه پمپ یا پره توربین). با استفاده از معادله گشتاور ممنتم از مکانیک سیالات، می‌توان نشان داد که گشتاور جریان ثابت از معادله (22) به دست می‌آید. در این معادله T گشتاور سیال وارد جسم است، r فاصله شعاعی از محور چرخش، V_ϴ سرعت مماسی مطلق، بردار V سرعت مطلق کل، و S سطح مرزی است (محصول rV_ϴ به عنوان چرخش نامیده می شود.).

برای یک دامنه پریودیک محیطی، با مرزهای ورودی و خروجی کاملاً مشخص، معادله (22) به معادله (23) تبدیل می‌شود. در این معادله انتگرال‌های Inlet و Outlet، بیان کننده سطوح ورودی و خروجی دامنه‌های محاسباتی می‌باشد. اکنون اینترفیس سطح اختلاط را با ضخامت محدود در نظر بگیرید. با اعمال معادله (23) در این ناحیه با توجه به اینکه این ضخامت باید به صفر برسد، گشتاور باید ناپدید شود. در نتیجه معادله (23) به معادله (24) تبدیل می شود.

انتگرال‌های upstream و downstream در معادله (24) طرف‌های بالادست (Upstream) و پایین دست (Downstream) سطح اختلاط را نشان می‌دهند. توجه داشته باشید که معادله (24) به طور کامل (360 درجه) بر سطح اختلاط اعمال می‌شود. معادله مذکور (24) راه‌کاری منطقی برای تعیین مولفه سرعت مماسی ارائه می‌دهد. به عبارت دیگر با استفاده از این معادله نرم افزاری مانند Ansys Fluent یک پروفیل از سرعت مماسی را محاسبه می کند و سپس به طور یکنواخت مقادیر را طوری تنظیم می کند که انتگرال چرخشی ارضا شود. توجه داشته باشید که درونیابی پروفیل‌های مولفه‌های سرعت مماسی (و شعاعی) در سطح اختلاط بر بقای جرم تأثیر نمی‌گذارد زیرا این مولفه‌های سرعت با سرعت عمود بر وجوه المان که در محاسبه شار جرم استفاده می‌شوند متعامد هستند.

بقای آنتالپی کل

همانند چرخش، اصل بقای آنتالپی کل نیز در مدل سطح اختلاط الزامی نیست. به عنوان مثال به طور پیش فرض، Ansys Fluent بقای آنتالپی کل را در سطح اختلاط اعمال نمی‌کند. برای برخی از کاربردها، حفظ آنتالپی کل در سراسر صفحه اختلاط بسیار مطلوب است، زیرا پارامترهای کلی مانند راندمان (efficiency) مستقیماً با تغییر در آنتالپی کل در یک ردیف یا مرحله تیغه مرتبط است. این در Ansys Fluent به عنوان یک گزینه مدل سازی موجود است.

روش مناسب برای حصول اطمینان از برقراری بقای آنتالپی کل شامل تنظیم مشخصات دمای کل پایین دست است به طوری که آنتالپی کل یکپارچه با آنتالپی کل انتگرال گیری شده در بالادست مطابقت داشته باشد. برای جریان های چند فازی، بقای جرم، چرخش و آنتالپی برای هر فاز محاسبه می شود. با این حال، برای مدل چند فازی اویلری، از آنجایی که شرط مرزی دبی جرمی ورودی مجاز نیست، در نتیجه قانون بقا برای پارامترهای فوق قابل اعمال نیست.