شبکه بندی باسازمان به روش TFI

Transfinit Interpolation Meshing

شبکه‌بندی باسازمان به روش TFI همان تولید شبکه باسازمان با روش‌های جبری است. در واقع درونیابی ترامتنهاهی (Transfinite) به استانداردی برای تولید شبکه جبری تبدیل شده است که در اکثر برنامه نویسی‌های تولید شبه باسازمان نگاشتی از آن استفاده می‌شود. TFI می‌تواند درونیابی را برای هر سطح، لبه و یا در هر گوشه‌ای انجام دهد. مزیت استفاده از این روش اینست که نودهای داخل سطح را مطابق با نودهای مرزی توزیع می‌کند، ابعاد شبکه تحت کنترل مستقیم است، به راحتی برنامه نویسی می‌شود(کد نویسی ساده) و از نظر محاسباتی بسیار کارآمد است.

روش TFI یک دامنه محاسباتی مستطیلی را به یک قلمرو فیزیکی تبدیل می‌کند. برای این کار لازم است 4 گره انتهایی (گره‌های End) در قلمرو فیزیکی مشخص شود تا تناظری بین رئوس مستطیل و این گره‌ها ایجاد شود. با تقسیم هریک از اضلاع مستطیل محاسباتی به فواصل یکسان یک شبکه یکنواخت در دامنه محاسباتی تولید می‌شود. با انجام فرآیند انتقال نقاط تولید شده در داخل دامنه محاسباتی به نقاطی با فواصل نامساوی در قلمرو فیزیکی مپ شده و شبکه هندسی را تولید می‌کنند. برای مسائل سه بعدی نیز همین فرآیند حاکم است منتها به جای 4 گره باید 8 گره انتهایی مشخص شود(شکل-1).

شکل-1: نحوه کارکرد متد TFI در شبکه‌بندی باسازمان.

فواصل بین نقاط در قلمرو فیزیکی با استفاده از توابع ترکیبی (معادلات جبری) کنترل می‌شوند. توابع ترکیبی که شکل مناسب یک شبکه را ایجاد می‌کند (یعنی جهت‌گیری نسبی بین نقاط) ممکن است فاصله مورد نظر بین نقاط را ایجاد نکنند.

به منظور تولید شبکه با تراکم مطلوب لازمست اطلاعات اضافی داشته باشیم. یک راهکار برای رسیدن به این مقصورد طراحی یا اصلاح توابع ترکیبی است تا دقیقا تراکم مطلوب را ایجاد کند. روش دوم که موثر و کاربردی‌تر است، تعریف یک دامنه کنترل میانی بین حوزه‌های محاسباتی و فیزیکی است (شکل-2) که البته در این نوشته قصد نداریم وارد جزئیات آن شویم.

شکل-2: نحوه کارکرد متد TFI همراه با دامنه کنترل میانی در شبکه‌بندی باسازمان .

طبق مطالب بالا می‌توان این گونه جمع‌بندی کرد که شبکه‌بندی باسازمان به روش TFIدر دو مرحله کلی زیر خلاصه می‌شود.

اول: توزیع نقاط روی خطوط (لبه‌های) مرزی

دوم: میانیابی نقاط داخل دامنه محاسباتی و تصویر آن روی قلمرو فیزیکی

توزیع نقاط روی خطوط (لبه‌های) مرزی دقیقا همانند شبکه‌بندی لبه‌ها می‌باشد. تمامی روابط توضیح داده شده در این بحث برای شبکه‌ بندی خطوط مرزی هندسه‌های دو بعدی و سه بعدی نیز صادق است. به همین خاطر پیشنهاد می‌کنیم که برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد شبکه‌ بندی خطوط به اینجا مراجعه کنید.

درون‌یابی نقاط داخل هندسه دو بعدی می‌تواند به طور مستقیم در قلمرو فیزیکی انجام شود. البته این عمل مستلزم اینست که هندسه شما یک ناحیه همبند ساده باشد. در چنین مسائلی توزیع نقاط در داخل قلمرو فیزیکی به این صورت است که میانیابی نقاط براساس یکی از روابط انتخابی توزیع نقاط خطوط بین دو نود محاسباتی مرزی متناظر با هم در دو لبه‌ی رو به رو به هم انجام می‌شود. مثالی از شبکه بندی حول یک ایرفویل با این روش در اینجا ارائه شده است. این شبکه بندی سازمان به روش TFI به شبکه بندی باسازمان جبری معروف است.

رویکرد دیگر درون‌یابی به صورت ساختن تصویر نقاط از دامنه محاسباتی به قلمرو فیزیکی است که مهمترین مرحله روش TFI به حساب می‌آید. این مهم با استفاده از فرمولاسیون مجموع بولین (Boolean Sum Formulation) و فرمولاسیون بازگشتی (Recursion Formulation) انجام می‌شود.

فرمولاسیون مجموع بولین (Boolean Sum Formulation)

ذات متد شبکه‌بندی باسازمان به روش TFIدر تعیین درونیابی‌های تک متغیره در هر یک از جهت‌های مختصات محاسباتی، تشکیل تانسور حاصل ضرب‌ها و در نهایت جمع بولین است (معادله-1). توابع درونیابی تک متغیره یک ترکیب خطی از اطلاعات معلوم (ورودی‌ها) در قلمرو فیزیکی (موقعیت‌ها و مشتقات X) و ضرایبی که همان توابع ترکیبی (α، β و γ) هستند، می‌باشند. فرم کلی درون‌یابی تک متغیره در فضای سه بعدی در معادلات (2) نشان داده شده است. شرایط حاکم بر توابع ترکیبی نیز طبق روابط (3) تعریف شده و درنهایت تانسور ضریب‌ها به صورت معادلات (4) بیان می‌شود [1].

در اغلب موارد عملی از فرض قابلیت جابجایی در تانسور ضرب‌های معادله (4) استفاده می‌شود اما به طور کلی تضمینی به آن نیست! این مهم به تعویض‌پذیری مشتقات جزئی مختلط (Mixed Partial derivatives) بستگی دارد. همانطور در بالا نیز گفته شده در جمع بولین، میانیابی‌های تک متغیره با یکدیگر جمع می‌شوند (معادله 1).

فرمولاسیون بازگشتی (Recursion Formulation)

کاربردشبکه‌بندی باسازمان به روش TFI به عنوان اپراتور مجموع بولین از میانیابی تک متغیرها در جهت‌های مختصات محاسباتی به این شکل است که ابتدا هر یک از ترم‌های حاضر در فرآیند جمع کردن ارزیابی شده و سپس مجموع ارزیابی می‌شود. از طرفی TFI می‌تواند به صورت یک فرمول 3 گام نیز بیان شود. گام اول توصیف میانیابی تک متغیرها در یک جهت مختصات است (معادله-5). در ادامه گام‌های دوم و سوم از گام اول استفاده می‌کنند (معادلات 6 و 7). توابع داشته باشید که α، β و γ تابع شرایط δ در معادله (3) هستند [1].

کاربردهای عملی TFI

در شبکه‌بندی لازمست که تعداد داده‌های هندسی ورودی (موقعیت و مشتقات در امتداد خطوط یا سطوح مرزی) به حداقل برسد یا اینکه دست کم در سطح مدیریت شده باشد. در عین حال حفظ کنترل پذیری بالای شبکه به ویژه در نواحی نزدیک مرزها که ممکن است گرادیان‌های بالایی در حل معادلات حاکم داشته باشد، ضروریست. به همین منظور از روش شبکه‌بندی باسازمان به روش TFI در قالب سه فرمت خطی (Linear)، لاگرانژی (Lagrangian) و مکعب هرمیت (Hermite Cubic) استفاده می‌شود.

روش TFI خطی (Linear TFI)

ساده‌ترین کاربرد TFI استفاده از توابع میانیابی خطی برای تمام جهات مختصات و تعیین داده‌های موقعیت روی مرزها می‌باشد (شکل-3).

شکل-3: شماتیک انتقال داده‌ها از دامنه محاسباتی به قلمرو فیزیکی در TFI خطی.

توابع ترکیبی خطی که شرط δ در معادله (3) را اضائ می‌کنند طبق روابط (8) تعریف می‌شوند. در این رویکرد میانیابی‌های تک متغیره از معادلات (9) به دست می‌آید. در نهایت جمع بولین میانیابی تک متغیره‌ها (معادله 1) در TFI خطی از رابطه (10) انجام می‌شود [1].

روش TFI لاگرانژی (LagrangianTFI)

تنها مواقعی سطوح اضافی متناظر با داخل دامنه محاسباتی در قلمرو فیزیکی می‌تواند تولید شود که یک فرمول عمومی برای توابع ترکیبی قابل استفاده باشد. به عبارت دیگر از روش لاگرانژی برای شبکه‌بندی سطوح داخل دامنه محاسباتی و نگاشت آن روی صفحات داخل قلمرو فیزیکی (شکل-4) استفاده می‌شود [1].

شکل-8: شماتیک انتقال داده‌ها از دامنه محاسباتی به قلمرو فیزیکی در TFI لاگرانژی.

تابع ترکیبی لاگرانژ یک میانیابی چند جمله‌ای از درجه L-1 در L نقطه را انجام می‌دهد و شرایط α⁰_i(ξ_i)=δ_ii^– را ارضاء می‌کند. به عنوان، مثال فرمول کلی برای ξ در مختصات محاسباتی به صورت معادله (11) می‌باشد. تابع میانیابی تک متغیره هم طبق معادله (12) تعریف می‌شود.

به خاطر مقادیر بسیار داده‌های هندسی مورد نیاز و احتمال جابجایی‌های بیش از اندازه در فرآیند محاسباتی، توابع ترکیبی لاگرانژی مرتبه بالا برای تولید شبکه پیشنهاد نمی‌شود (افزایش پیچیدگی و هزینه محاسبات). از طرف دیگر استفاده از L=2 موجب رسیدن به نتایج خطی همانند TFI خطی توضیح داده شده در قسمت قبل می‌شود.

روش TFI هرمیت مکعبی (Cubic Hermit Spline)

اغلب در شبکه بندی، مشتق بیرونی در یک یا چند طرف قلمرو فیزیکی متناظر با طرف‌های دامنه محاسباتی قابل تعیین است. بنابراین می‌توان از توابع ترکیبی هرمیت مکعبی (Cubic Hermit) در جهت مختصاتی که اطلاعات مشتق در آن قابل تعیین است، استفاده کرد. برای مثال اگر ξ₁ جهت مختصات محاسباتی باشد، درونیابی تک متغیره هرمیت (L=2, P=1) مربوط به معادله (2) به صورت معادله (13) تعریف می‌شود. شماتیک این روش در شکل (5) نشان داده شده است [1].

شکل-5: شماتیک انتقال داده‌ها از دامنه محاسباتی به قلمرو فیزیکی در TFI هرمیت مکعبی.

مشتقات برون‌سوی (Outward) در جهت مختصات ξ₁ با ضرب خارجی (Cross-Product) مشتقات سطح مماس در جهت‌های مختصات η و ς در ξ=0 و ξ=1 به دست می‌آید. این مهم به طور مؤثری مسیرهای (Trajectories) منحنی‌های شبکه را که عمود بر سطوح X=( ξ₁, η, ς) و X=( ξ₂, η, ς) هستند را ایجاد می‌کند. بنابراین معادله (14) حاکم خواهد بود. توابع اسکالر ψ₁(η, ς) و ψ₂(η, ς) اندازه مشتقات بیرونی در جهت ξ در سطوح X=( ξ₁, η, ς) وX=( ξ₂, η, ς) هستند.

پارامترهای مقادیر مشتق می‌توانند ثابت و یا از جنس توابع سطحی باشند. افزایش مقدار مشتقات اثر تعامد را بیشتر در قلمرو فیزیکی بین دو سطح روبر گسترش می‌دهد. با این حال، مقادیر می‌توانند بیش از اندازه بزرگ باشد و در نتیجه معادله درونیابی چند مقداری (Multivalued) باشد. این موضوع با تقاطع شبکه آشکار می‌شود که با کاهش مقادیر قابل برطرف شدن است. توجه داشته باشید که وقتی درونیابی‌ها در جهات η و ς اعمال می‌شوند، می‌توان اثر تعامد بدست آمده را با میانیابی هرمیت در جهت ξ تغییر داد.