محاسبه ضریب درگ ذرات در مدل DPM

Calculation of Particle Drag Coefficient in the DPM Model

محاسبه ضریب درگ ذرات در مدل DPM مبتنی بر قوانین متنوعی صورت می‌پذیرد. بسته به شکل ذره یا رژیم جریان روابط پیشنهادی برای محاسبه ضریب درگ ذره متفاوت است. البته لازم به ذکر است که این معادلات تنها مربوط به روش‌ اویلری لاگرانژی DPM می‌باشد. لذا در این بخش قوانین و روش‌های مختلف محاسبه ضریب درگ ذره در مدل DPM تشریح شده است.

قانون درگ کروی در محاسبه ضریب درگ ذرات در مدل DPM

ضریب درگ ذره C_D با فرض شکل کروی و سطح هموار آن طبق رابطه (72) محاسبه می‌شود. در این رابطه a₁ و a₂ و a₃ ثابت‌های مورد استفاده برای مقادیر عدد رینولدز تعریف شده توسط مرسی (Morsi) و الکساندر (Alexander)می‌باشد (در مدل Eulerian توضیح داده شده است).

قانون درگ غیر کروی محاسبه ضریب درگ ذرات در مدل DPM

برای ذرات غیر کروی هایدر (Haider) و لونسپیل (Levenspiel) معادله (73) را ارائه کردند. در رابطه (74) φ فاکتور شکل بوده که با استفاده از معادله (75) بدست می‌آید. در معادله (75)، s مساحت کره هم حجم با ذره و S مساحت سطح ذره می‌باشد. به منظور محاسبه جرم، نیروی درگ و Re_sph لازمست dp، قطر کره هم حجم با ذره، تعریف شود. نکته مهم اینست که مقدار ضریب شکل هیچگاه از یک بیشتر نمی‌شود.

قانون درگ استوکس کانینگهام (Stokes-Cunningham)

طبق این قانون نیروی درگ در قالب معادله (76) تعریف می‌شود. البته برای ذرات کوچکتر از میکرون فرم جدیدی از قانون استوکس وجود دارد که بصورت معاده (77) بیان می‌شود. پارامتر Cc در این معادله، ضریب تصحیح کانینگهام به قانون درگ بوده و براساس معادله (78) تعیین می‌گردد.

محاسبه ضریب درگ ذرات در مدل DPM

قانون درگ ذره در ماخ بالا

برای اعداد ماخ بالا نیز قانونی برای محاسبه درگ ذره وجود دارد. این قانون درگ شبیه قانون کروی (معادله 72) و همراه با اصلاحاتی است که برای ماخ بزرگتر از 0.4 و اعداد رینولدز ذره بزرگتر از 20 قابل استفاده است

قانون درگ دینامیک

برآورد دقیق ضرایب درگ قطره‌ها در شبیه‌سازی دقیق اسپری‌ها امری حیاتیست. نرم افزار Fluent روشی را پیشنهاد می‌کند که ضریب درگ را بصورت دینامیکی و براساس واریانت‌های مختلف شکل قطره محاسبه می‌کند. مدل درگ دینامیکی تقریبا برای هر شرایطی کاربرد دارد. این مدل با هر دو مدل موج و TAB مربوط به شکست قطرات سازگار است. در حالتهایی که از مدل برخورد Collision استفاده می‌شود، برخوردها تنظیم کننده اعوجاج و سرعت اعوجاح هستند.

در بسیاری از مدل‌های محاسبه درگ قطره، فرض می‌شود که قطره در کل دامنه محاسباتی کروی شکل باقی می‌ماند. با این فرض درگ ذرات کروی شکل از معادله (79) محاسبه می‌شود. به هرصورت اعوجاج قطرات کروی شکل هنگام عبور از بین گازها و بویژه اگر عدد وبر بزرگ باشد، اجتناب ناپذیر است. در بحرانی‌ترین حالت شکل قطره از کره به دیسک تغییر پیدا می‌کند. بدیهی است که درگ دیسک بمراتب بیشتر از درگ کره است. از آنجائیکه ضریب درگ قطره به شدت به شکل قطره وابسته است، لذا فرض کروی بودن قطره پسندیده نیست. مدل درگ دینامیکی با اعمال اعوجاج شکل قطره ضریب درگ آن را بصورت خطی از مقدار درگ قطره کروی شکل (معادله 79) تا مقدار 1.54 که معادل درگ یک دیسک است را محاسبه می‌کند (معادله 80). در این معادله y اعوجاج قطره بوده و از رابطه (81) بدست می‌آید.

طبق رابطه فوق در حالت y=0 یا همان قطره بدون اعوجاج ضریب درگ کره لحاظ می‌شود. در حالت y=1 نیز ضریب درگ ذره برابر با ضریب درگ دیسک در نظر گرفته خواهد شد. قابل توجه است که معادله (81) از مدل TAB برای شکست اسپری اقتباس شده است. به هر حال مدل درگ دینامیکی می‌تواند با هر یک از مدل‌های شکست استفاده شود.

قوانین درگ مدل فاز گسسته چگال

قوانین درگ مناسب برای جریان گاز-جامد چگال عبارتند از مدل‌های ون-یو (Wen-Yu)، گیداسپاو (Gidaspow) و سیاملال-اوبرین (Syamlal-O’Brien). هر سه مدل اثرات گروهی ذرات را لحاظ می‌کنند. بنابراین کاملا به کسر حجمی فاز گسسته وابسته هستند. از این رو تنها زمانی قابل استفاده هستند که کسر حجمی DPM محاسبه شود. در واقع محاسبه کسیر حجمی مرتبط با مدل فاز گسسته متراکم (چگال) در روش Eulerian می‌باشد.

قوانین درگ حباب‌ها

در اعداد رینولدزی که به اندازه کافی کوچک هستند (به عبارت دیگر قطرات مایع یا حباب‌های گاز خیلی ریز باشند)، حباب‌ها و قطرات پراکنده رفتاری شبیه ذرات کروی جامد از خود نشان می‌دهند. بنابراین ضریب درگ با دقت مناسبی توسط روابط شیلر-نیومن (Schiller-Naumann) یا الکساندر مورسی (Alexander-Morsi) توضیح داده شده در صفحه مدل Eulerian، تخمین زده می‌شود. در اعداد رینولدز بزرگتر (رژیمهای اینرسیایی یا اعوجاجی)، اثرات تنش سطح مهم می‌شود. در این حالت ذرات سیال ابتدا بیضوی شکل شده و در نهایت به صورت یک فنجان کروی شکل تبدیل می‌شوند. در نرم افزار Fluent مدل‌های زیر برای محاسبه ضریب درگ مایعات اسپری شونده و حباب‌ها در دسترس هستند.

مدل درگ ایشی زوبر (Ishii-Zuber Drag Model)
مدل درگ گریس (Grace Drag Model)

مدل درگ ایشی زوبر (Ishii-Zuber Drag Model)

مدل درگ ایشی زوبر در سه رژیم لزج (رینولدزهای بسیار پایین)، رژیم کج و معوج (تغییر شکل یافته) و رژیم فنجان کروی شکل ارائه شده است.

رژیم لزج (Viscous Regime)

در رژیم لزج، ضریب درگ حباب‌ها و قطرات پراکنده همانند ذرات کروی شکل جامد محاسبه می‌شوند. بنابراین ضریب درگ با تقریب مناسبی از رابطه الکساندر-مرسی (معادله 82) بدست می‌آید.

رژیم کج و معوج (Distorted Regime)

در رژیم کج و معوج، ضریب درگ مستقل از عدد رینولدز اما وابسته به شکل ذره براساس گروه بدون بعد معروف به عدد اتووس (Eotvos Number) و با استفاده از معادله (83) محاسبه می‌شود. عدد اتووس (معادله 84) نسبت نیرو‌های تنشی و جاذبه را اندازه گیری می‌کند.

رژیم فنجان کروی شکل (Spherical Cap Regime)

در رژیم فنجان کروی شکل ضریب درگ از رابطه (85) بدست می‌آید. همچنین ضریب درگ حباب با اعداد رینولدز ذره بزرگ در قالب معادله (86) بیان می‌گردد.

مدل درگ گریس (Grace Drag Model)

مدل درگ گریس نیز در سه رژیم لزج (رینولدزهای بسیار پایین)، رژیم کج و معوج (تغییر شکل یافته) و رژیم فنجان کروی شکل ارائه شده است.

رژیم لزج (Viscous Regime)

در این رژیم ضریب درگ از همان معادله مدل ایشی-زوبر (رابطه 82) محاسبه می‌شود.

رژیم کج و معوج (Distorted Regime)

در این رژیم، مدل درگ گریس بر پایه جریان عبوری از یک جباب کج و کوله طبق رابطه (87) فرموله شده است.

در روابط فوق زیر نویس f بیانگر فاز پیوسته است.

رژیم فنجان کروی شکل (Spherical Cap Regime)

در رژیم فنجان کروی، ضریب درگ همانند مدل درگ ایشی-روبرز (معادله 86) تعیین می‌شود.

قانون درگ دورانی (Rotational Drag Law)

ضریب درگ دورانی، C_ω، برای اعداد رینولدز دورانی، Re_ω، بزرگ قابل توجه است. Re_ω بصورت معادله (89) تعریف می‌شود. نرم افزار Fluent از رابطه پیشنهادی دنیس و همکاران (Dennis et al) برای محاسبه ضریب درگ دورانی استفاده می‌کند (رابطه 90).