معادلات بقاء مش دینامیکی

Dynamic Mesh Conservation Equations

با توجه به شبکه دینامیکی، فرم انتگرالی معادله بقا برای یک کمیت اسکالر کلی، ϕ، در یک حجم کنترل دلخواه، V، به صورت معادله (1) نوشته می‌شود.

که ρ: چگالی سیال،

ū: بردار سرعت جریان،

بردار ūg: سرعت شبکه در مش دینامیکی

Γ: ضریب انتشار

Sϕ: ترم چشمه ϕ و

V∂: بیانگر مرز حجم کنترلی V می‌باشد.

با استفاده از فرمولاسیون گسسته سازی پسرو مرتبه اول، ترم مشتق زمانی معادله (1) به صورت معادله (2) نوشته می‌شود که در آن بالانویس n و n+1 بیانگر اندیس زمان فعلی و بعدی هستند. حجم کنترل در زمان n+1، که با Vⁿ⁺¹ نشان داده می‌شود نیز با استفاده از معادله (3) به روز رسانی می‌شود. روشن است که dV/dt مشتق زمانی حجم در حجم کنترل می‌باشد. برای اینکه قانون بقای شبکه (مش) را ارضاء کنیم مشتق زمانی حجم پارامتر حجم کنترل با استفاده از معادله (4) محاسبه می‌شود. در این معادله n_f تعداد وجوه حجم کنترل (یا همان سلول شبکه) و بردار A_j بردار مساحت وجه j هستند. δV_j حجم خروجی به وسیله وجه حجم کنترل در گام زمانی Δt است.

با استفاده از فرمول گسسته سازی مرتبه دوم پسرو (Second-Order Backward Difference)، مشتق زمانی معادله (1) به صورت معادله (6) نوشته می‌شود که در آن n+1، n و n-1 بیانگر اندیس زمانی بعدی، فعلی و قبلی هستند. در مورد گسسته سازی مرتبه دوم مشتق زمانی حجم مربوط به حجم کنترل، از همان روش استفاده شده در گسسته سازی مرتبه اول نشان داده شده در معادله (4) استفاده شده و معادله (5) نیز بصورت معادله (7) باز نویسی می‌شود. (δV_j)ⁿ و (δV_j)^N+1 حجم‌هایی هستند که توسط وجوه حجم کنترل در گام‌های زمانی قبلی و فعلی خارج می شوند.