مدل استانتن-روتلند (The Stanton-Rutland Model)

مدل استانتن-روتلند

The Stanton-Rutland Model

مدل استانتن-روتلند (The Stanton-Rutland Model) اندرکنش قطره با دیواره را بر اساس رژیم‌های مختلف برخورد و دمای دیواره شبیه‌سازی می‌کند. در واقع اندرکنش قطره با دیواره براساس تحقیقات استانتن و او-رورک (O’Rourke) انجام می‌شود [1] و [2]. جائیکه رژیم‌های برخورد براساس اطلاعات محلی برای اندرکنش قطره-دیواره تعیین می‌شوند. این رژیم‌ها عبارتند از:

رژیم چسبیدن (Stick)
رژیم بازگشتی (Rebound)
رژیم پخش (Spread) و
رژیم پاشش (Splash).

رژیم‌های فوق براساس میزان انرژی برخوردی و دمای دیواره حاکم می‌شوند. در نمودار نشان داده شده در شکل زیر می‌توانید شرایط ایجاد و محدوده هر یک از رژیم‌ها را نسبت به میزان انرژی برخوردی (E) و دمای دیواره (T_W)مشاهده نمایید.

شرایط حاکمیت رژیمهای مختلف برخورد قطره با دیواره.

در دمای کمتر از دمای بحرانی، قطره برخورد کننده می‌تواند به دیواره بچسبد، انتشار یابد و یا اینکه پاشیده شود. در حالیکه در دمای بالاتر از دمای بحرانی، قطره از روی دیواره بازگشته و یا اینکه روی دیوار پاشیده می‌شود.

همانطور که اشاره شد، انرژی برخورد و دمای بحرانی انتقال مایع، معیارهایی هستند که براساس آن رژیم‌های برخورد مشخص می‌شوند. انرژی برخورد بصورت رابطه (230) و دمای بحرانی انتقال مایع طبق معادله (232) تعریف می‌شود. با تعریف معادله انرژی (230)، حضور فیلم روی دیواره اثر پاشش را از بین می‌برد. با این‌حال طبق این معادله اگر ارتفاع فیلم h₀، به صفر برسد، نتایج غیر فیزیکی حاصل نمی‌شود.

V_pn: مولفه عمود بر دیواره سرعت ذره

ρ: چگالی مایع

dp: قطر قطره

σ: تنش سطحی مایع

h₀: ارتفاع فیلم

Re: عدد رینولدز

T_sat: دمای اشباع و

T^*_Crit: فاکتور دمای بحرانی که بسته به کاربرد آن بین 1 تا 1.5 متغیر است.

در نرم افزار Fluent مقدار پیش‌فرض فاکتور دمای بحرانی 1 است. در نتیجه طبق پیش‌فرض دمای انتقالی بحرانی T_crit همان دمای اشباع قطره T_sat می‌باشد.

شرایط وقوع رژیم‌های برخورد در مدل استانتن-روتلند (The Stanton-Rutland Model)

از رژیم چسبندگی زمانی استفاده می‌شود که انرژی بدن بعد E کوچکتر از 16 باشد و سرعت ذره برابر با سرعت دیواره تعیین شود. در رژیم پخش جهت و سرعت اولیه ذره با استفاده از مدل جت-دیواره تنظیم می‌شود. جائیکه احتمال برخورداری قطره از یک جهت مشخص در امتداد سطح به وسیله تناسب (تشبیه) یک مایع غیر لزج همراه با وابستگی شعاعی تجربی تعریف شده برای شار ممنتم، مشخص می‌گردد. اگر دمای دیواره بالاتر از دمای انتقال بحرانی مایع باشد و تصادم قطره با دیواره در انرژی کمتر از انرژی برخورد بحرانی (Critical Impact Energy: E_cr) رخ دهد آنگاه شاهد بازگشت قطره از دیواره هستیم.

پاشش زمانی اتفاق میافتد که انرژی تصادم بیشتر از انرژی برخورد بحرانی (Ecr=57.7) باشد. لازمست تعداد قطرات پاشیده شده روی دیواره تعیین شود. البته در پیش فرض نرم افزار Fluent تعداد قطرات 4 در نظر گرفته شده است. در این نرم افزار تعداد مجاز قطرات بین صفر تا 10 می‌باشد. در ادامه به جزئیات الگوی پاشش پرداخته شده است.

رژیم بازگشت قطره (Droplet Rebound)

در رژیم بازگشت سرعت ذره طبق روابط (233) و (234) محاسبه می‌شود.

در روابط فوق V_rt: مولفه مماسی سرعت بازگشتی،

V_rn: مؤلفه عمودی سرعت بازگشتی،

V_pt: مولفه مماسی سرعت تصادم (برخورد)،

e_n: ضریبی انعکاس عمودی (معادله 235)،

θ_I: زاویه تصادم (برخورد) با واحد رادیان که از روی سطح دیواره اندازه‌گیری می‌شود و

Ψ: زاویه انحراف بازگشت ذره که بصورت تصادفی از مقادیر بین 90- تا 90 درجه از جهت برخورد اقتباس می‌شود، هستند.

رژیم پاشش قطره (Droplet Splashing)

اگر ذره برخورد کننده به دیواره از انرژی کافی برخوردار باشد، قطره پس از برخورد به چندین قطره کوچتر (Parcel) یا همان پارسل تبدیل می‌شود که به آن پاشش قطره می‌گویند. شماتیک چگونگی تصادم و پاشش در مدل استانتن-روتلند در شکل زیر نشان داده شده است.

رژیم پاشش قطره

همانطور که در این شکل پیداست:

d_p: قطر قطره برخورد کننده به دیواره،

V_p: سرعت برخورد قطره،

d_i: قطر قطره ثانویه پاشیده شده،

Vi: سرعت قطره ثانویه پاشیده شده،

θ_I: که براساس بردار نرمال بر صفحا اندازه‌گیری می‌شود و

Ψ: زاویه انحراف از جهت برخورد هستند.

شما بطور مستقیم می‌توانید تعداد قطرات ثانویه تولید شده از برخورد قطره اصلی به دیواره را مشخص کنید. حداقل تعداد قطرات ثانویه ناشی از تصادم در نرم افزار Fluent برابر با 3 می‌باشد. البته مشخصات (قطر، اندازه و جهت) قطرات ثانویه پاشش بطور تصادفی از تابع توزیع بدست آمده از نتایج تجربی تعیین می‌گردد. در واقع انتخاب صفر برای تعداد قطرات ثانویه به منزله حذف رژیم پاشش در مدل لاگرانژی می‌باشد. توجه داشته باشید که هر قسمت می‌تواند از یک الگوی مجزا برای منحنی توزیع بهره ببرد. نکته دیگر اینکه انتخاب تعداد قطرات در کادر محاوره‌ای شرط مرزی دیواره محدودیتی روی قطرات پاشیده شده، ایجاد نمی‌کند. در واقع تنها تعداد قطرات ثانویه پاشده شده در این قسمت مشخص می‌شود.

محاسبه قطر قطرات ثانویه در رژیم بازگشت قطره

برای هر قطره ثانویه یک قطر متفاوت براساس تابع توزیع احتمالی تجمعی (Cumulative Probability Distribution Function: CPDF) در نظر گرفته می‌شود. این تابع بصورت معادله معادله (236) بیان می‌شود. معادله مذکور بیانگر احتمال پیدا کردن قطرات با قطر d_i در یک الگوی مشخص از قطرات پاشیده شده می‌باشد. به منظور اطمینان از اینکه توابع توزیع نتایج واقعی فیزیکی را براساس عدد وبر تولید می‌کنند، از رابطه (237) برگرفته از تحقیقات او-رورک در نرم افزار Fluent استفاده می‌شود. نسبت قطر ذرات در بیشترین اندازه پاشش از معاده (237) بدست می‌آید. در این معادله، مقدار انرژی با استفاده از رابطه (230) محاسبه می‌شود. برخوردهای همراه با عدد وبر پایین بوسیه ترم دوم معادله (237) توصیف می‌شوند. طبق تحقیقات و تحلیل‌های آزمایشگاهی او-رورک، در برخوردهای بسیار پر انرژی بیشترین مقدار نسبت قطر پاشش هیچگاه کمتر از 0.06 نمی‌شود.

عدد وبر در معادله (237) با استفاده از قطر و مؤلفه عمودی سرعت ذره تعریف می‌شود (رابطه 238). البته یک تابع توزیع احتمالی تجمعی (CPDF) مورد نیاز است تا بتوان قطر ذرات ثانویه را از داده‌های تجربی نمونه گذاری نمود. این تابع CPDF با انتگرال گیری از معادله (236) و برای تعیین مقدار رابطه (239) بدست می‌آید.

مقدار معادله (239) بین صفر تا یک متغیر است. یک روش توزیع برای قطر (که تابعی از D، عدد وبر تصادم We و انرژی تصادم است) با معکوس کردن رابطه (239) و نمونه گیری کمی بین صفر ویک بدست می‌آید. بنابراین قطر قطره iام بصورت di=D√(-ln(1-c_i)) توصیف می‌شود. که c_i نمونه تصادفی قطره iام می‌باشد. با تعیین قطر قطره ثانویه احتمال یافتن آن قطره در یک نمونه کمی مشخص بوسیله حل معادلات (236) در قطر مشخص تعیین می‌شود.

به منظور جلوگیری از بزرگ شدن بیش از اندازه قطر قطرات ثانویه ناشی از پاشش، نرم افزار Fluent از روش‌های محدود کننده توزیع زیر استفاده می‌کند.

روش محدود کننده انتها (Tail Limiting Method)

این روش پیش فرض مدل فیلم-دیواره لاگرانژی در نرم افزار Fluent بوده و نسبت زیر را محدود می‌کند.

d_99.9/d_p<1.0

d_99.9 قطر قطره در مقدار 99.9% تابع CPDF می‌باشد.

روش محدود کننده قله (Peak Limiting Method)

روش مذکور پیش فرض مدل فیل-دیواره اویلری بوده و با هدف آن ایجاد محدودیت زیر ارائه شده است.

d_max/d_p<Pmax

Pmax دامنه مقدار محدود کننده از 0.2 تا 0.3 (با پیش فرض 0.22) می‌باشد که از داده‌های تجربی موندو (Mundo) گرفته شده است. Pmax را می‌توان از دستورات موجود در رابطه متنی کاربر (TUI) در نرم افزار Fluent انتخاب نمود. تعداد قطرات در هر پارسل با مقدار PDF مربوط به اندازه قطر قطره متناسب می‌باشد. بنابراین، تعداد ذرات بوسیله جرم کلی پاشیده شده تعینن می‌گردد.

محاسبه کسر جرمی در مدل استانتن-روتلند (The Stanton-Rutland Model)

کسر جرمی ذره پاشیده شده، y_s، از داده‌های تجربی یارین (Yarin) و ویس (Weiss) بدست می‌آید. کسر جرمی پاشیده شده تعریف شده توسط او-رورک و همکارانش طبق معادله (240) محاسبه می‌شود. همچنین کسر جرمی پاشش تعریف شده توسط استانتن و همکاران طبق رابطه (241) می‌باشد.

که K_u: سرعت برخورد بدون بعد و

G: مقدار ثابت 2.37 است.

روش کسر جرمی پاشش می‌تواند بصورت دستوری در رابطه متنی کاربر (TUI) تعریف شود. روش او-رورک روش پیش فرض برای فیلم-دیواره لاگرانژی LWF و روش استانتن، روش پیش فرض برای فیلم دیواره اویلری EWF می باشد.

او-رورک و همکاران خاطرنشان کردند که تقریبا تمامی برخوردها در اسپری‌های دیزلی معمولا فراتر از محدود بالایی انرژی است . بنابراین، رژیم پاشش تقریبا همواره 75% از جرم قطره تصادم کننده به دیواره را بخود اختصاص می‌دهد. برای دستیابی به یک رابطه که معرف تعداد قطر قطرات می‌باشد لازمست در بقای کلی جرم مجموع جرم کلی پارسل(های) پاشیده شده برابر با کسر جرمی پاشیده شده باشد. به عبارت دیگر معادله (243) برقرار باشد.تعداد قطرات پاشیده شده در هر پارسل با ضرب مقدار N_tot در مقدار PDF متناسب با اندازه قطره تعیین می‌شود (رابطه 244).

محاسبه سرعت قطرات ثانویه در مدل استانتن-روتلند (The Stanton-Rutland Model)

برای محاسبه سرعت قطرات ثانویه ترک کننده سطوح یک رابطه اضافی برای مؤلفه عمودی سرعت نمونه گیری می‌شود. تابع ویبول (Weibull) منطبق بر داده‌های موندو به عنوان یک PDF برای مؤلفه عمودی سرعت مورد استفاده قرار می‌گیرد. چگالی احتمالی نیز با استفاده از معادله (245) محاسبه می‌شود. در نهایت مولفه مماسی سرعت براساس زاویه انعکاس θ_s بدست می‌آید.

m_p: جرم کلی پارسل برخورد کننده،

i: iامین قطره پاشیده شده (قطره ثانویه) و

زیر نویس p مرتبط با قطره برخورد کننده به دیواره هستند.

زاویه سمتی ψ برای قطرات پاشیده شده از رابطه (248) تعیین می‌شود. این معادله براساس روش توسعه یافته توسط نابر (Naber) و ریتز (Reitz) استخراج شده است.

در روابط فوق: β پارامتر وابسته به زاویه تصادم θ_I می‌باشد. p نیز عدد تصادفی بین صفر و یک است.

بالانس انرژی

در نهایت بالانس انرژی برای زیرمجموعه‌(های) جدید صورت می‌پذیر. بطوریکه مجموعه انرژی‌های سطح (Surface) و جنبشی (Kinetic) برای قطرات جدید بیش از قطرات قدیمی نباشد. معادلات بالانس انرژی طبق معادله (252) تعریف می‌شود. برای اطمینان از بقای انرژی، فاکتور تصحیحگر E_k با استفاده از رابطه (253) محاسبه می‌گردد.

در روابط فوق Es انرژی آستانه (threshold) برای پاشش‌های صورت گرفته می‌باشد (رابطه 254).

Vs سرعت آستانه پاشش است و با استفاده از عدد وبر بحرانی بدست می‌آید (معادله 255).

We_Cr: عدد وبر بحرانی (معادله 256).

بخاطر اینکه تعداد نسبتا اندکی از نقاط نمونه برداری وجود دارد، یک فاکتور تصحیح برای محاسبه هر یک از مؤلفه‌های سرعت قطره‌های پاشیده شده مورد نیاز است. مؤلفه‌های سرعت پاشیده شده در ریشه دوم Ek محاسبه شده در معادله (253) ضرب می‌شوند. بطوریکه بقای انرژی حاکم شوند. بنابراین سرعت‌های عمودی و مماسی پارسل‌ها بصور زیر محاسبه می‌شوند:

توجه به این نکته ضروریست که رویدادهای رژیم پاشش ذاتا ناپایا (گذرا) هستند. بنابراین زیر مدل پاشش تنها با رصد ناپایا (جریان ناپایا) در نرم افزار Fluent قابل استفاده است. همچنین رژیم پاشش می‌تواند موجب افزایش بزرگ و قابل توجهی در ترم‌های چشمه مربوط به المان‌هایی که در آن رخ می‌دهد شود. این مهم می‌تواند همگرایی را با مشکلات جدی همراه کند. لذا لازمست در حل این مسائل از گام زمانی کوچکتر استفاده شود.