معادلات مشتقات جزئی سهموی

Parabolic Partial Differential Equations

بسیاری از پدیده‌های فیزیکی، بویژه در فیزیک پیوسته، با استفاده از معادلات مشتقات جزئی سهموی مدلسازی می‌شود. بعنوان مثال، بسته به فیزیک جریان، معادلات حرکت در مکانیک سیالات به فرمولاسیون ساده‌تر معادلات سهموی تبدیل می‌شود. معادله لایه مرزی و معادلات ناویر استوکس سهموی شده (Parabolized Navier-Stokes (PNS)) مثال‌هایی از این قبیل به شمار می‌رود. بعلاوه، فرم معادلات انتقال حرارت هدایتی ناپایا نیز بصورت معادلات دیفرانسیل جزئی سهموی می‌باشد.

در این نوشته پس از معرفی و حل تحلیلی معادلات دیفرانسیل جزئی سهموی، روش‌های حل عددی این دسته معادلات مورد بررسی قرار خواهد گرفت. هر یک از روش‌های عددی، از نقطه نظر ویژگی‌های خاص خود، نظیر دقت، سازگاری و پایداری، بحث می‌شود. بدیهی است که امکان بررسی تمامی روش‌های ممکن در حل عددی معادلات دیفرانسیل جزئی سهموی در اینجا وجود ندارد.

معادله گرما (یا پخش) یکی از بارزترین نمونه معادلات دیفرانسیل جزئی سهموی بشمار می‌رود که بدلیل ساده بودن آن در این نوشته بعنوان معادله سهموی مبنا مورد بررسی قرار می‌گیرد. پس از معرفی معادله گرما و دسته بندی آن از لحاظ مرتبه و همچنین رفتار آن، به حل تحلیلی آن نیز اشاره می‌شود. در پست‌های بعدی، حل عددی معادله موج مرتبه اول، با استفاده از متد تفاضل محدود و انواع روش‌های صریح و ضمنی، ضمن بررسی پایداری آنها، توضیح داده می‌شود.

حل تحلیلی معادلات مشتقات جزئی سهموی (معادله توزیع گرما)

معادله توزیع گرما را می‌توان با استفاده از روش جداسازی متغیرها حل کرد. بعنوان مثال، معادله گرما (معادله 1) با شرائط مرزی و اولیه نشان داده شده در معادلات (2) بصورت تحلیلی و با استفاده از روش جداسازی متغیرها حل می‌شود [1]. با استفاده از روش جداسازی متغیرها معادله (1) را می‌توان بصورت (معادله 3) بازنویسی کرد. با توجه به رابطه (3) رابطه (4) حاکم است. لازم است k بگونه‌ای انتخاب شود که شرائط مرزی ارضاء شده و حل بدست آمده برای X(x) نیز غیربدیهی باشد. از طرفی، می‌توان نشان داد که همواره کوچکتر از صفر است. بنابراین، می‌توان فرض نمود که k=-p². باشد. با این فرض معادله (4) بصورت معادلات (5) بازنویسی می‌شود.

با حل معادلات (5) برای x معادله (6) حاصل می‌شود و البته با توجه به شرائط مرزی X(0)=0 و X(l)=0 فرم نهایی جواب بصورت رابطه (7) خواهد بود. از آنجائیکه p=nπ/l معادله دیفرانسیل مربوط به T در معادلات (5) بفرم معادله (8) تبدیل می‌شود. با حل معادله (8) به معادله (9) می‌رسیم. با جایگذاری معادلات (7) و (8) در معادله (3) معادله (10) حاصل می‌شود.

لازم به توضیح است که معادله گرما یک معادله همگن (Homogeneous) خطی است. بنابراین، با استفاده از اصل برهم‌نهی (Superposition) که اجازه می‌دهد که تمام حل‌های متناظر در مقادیر n با یکدیگر جمع شود، جواب معادله گرما بصورت معادله (11) خواهد بود. هدف بعدی بدست آوردن جوابی است که ارضا کننده شرائط اولیه باشد. اساساً شرائط اولیه تعیین کننده ضرایب مجهول می‌باشد که در حقیقت همان ضرایب جمله‌های سینوسی سری فوریه است (معادله 12). در نهایت، معادلات (11) و (12) فرم نهایی جواب معادله گرما بوده در حالیکه شرائط مرزی و اولیه را نیز ارضا می‌کند. در صورتیکه شرائط مرزی X(0)=k₁ و X(l)=k₂ باشند،

معادله گرما یک معادله غیر همگن بوده و بنابراین، نمی‌توان آن را با استفاده از روش جداسازی متغیرها حل کرد. بهرصورت، با استفاده از اصل برهم‌نهی جواب نهایی به بصورت مجموع جوابهای پایا و گذرا بیان می‌شود (معادله 13). در معادله (13)، U(x,t) همان جواب گذار بوده و بصورت معادله (14) می‌باشد.