تئوری مدل شکست تشابهی (قیاس) تیلور
Taylor Analogy Breakup (TAB) Model Theory
تئوری مدل شکست تشابهی (قیاس) تیلور (مدل TAB) یک روش کلاسیک برای محاسبه شکست قطره به شمار میرود که در بسیاری از مسائل مهندسی کاربرد دارد. این روش براساس تشابه
تیلور [1] بین قطره معوج و نوسانی (Oscillating and Distorting Droplet) و یک سیستم جرم و فنر میباشد (جدول-1).
جدول-1: مقایسه بین سیستم جرم و فنر با قطره معوج نوسانی
معادله مدل TAB که بر قطرههای در حال اعوجاج و نوسان حاکم است در هر زمانی برای اندازهگیری نوسان و اعوجاج قطره قابل استفاده است. در ادامه گفته خواهد شد که چگونه زمانیکه نوسانات قطره تا مقدار بحرانی رشد میکند، قطره والد (Parent Droplet) به چندین بچه قطره (Child Droplets) شکسته میشود. همانطور که انحراف قطره از شکل کروی بیشتر میشود، ضریب درگ قطره نیز افزایش پیدا میکند. در نرم افزار فلوئنت یک مدل درگ مناسب برای اعمال اثرات اعوجاج قطره مورد استفاده قرار میگیرد(قانون درگ دینامیک قطرات).
کاربردها و محدودیتهای تئوری مدل شکست تشابهی (قیاس) تیلور
مدل TAB برای اسپریهای با عدد وبر کوچک بهترین است. اما برای اسپریهای همراه با عدد وبر بسیار بزرگ موجب خرد شدن بیش از اندازه قطرات میشود و نمیتواند با استفاده از تشابه جرم و فنر بخوبی توصیف شود.
اعوجاج قطره
معادله حاکم بر یک نوسان اجباری میرا شونده بصورت رابطه (377) تعریف میشود. در این رابطه، x جابجایی خط استوای (Equator) قطره از موقعیت کروی (بدون اعوجاج) آن میباشد. ثابتهای این معادله از تشابه تیلور گرفته میشود (معادلات 378-380)
که ρl و ρg به ترتیب چگالی فازهای گسسته (مایع) و پیوسته (گاز)،
u: سرعت نسبی قطره،
r: شعاع قطره بدون اعوجاج (کروی شکل)،
σ: تنش سطحی قطره و
μl: لزجت هستند.
ثابتهای بدون بعد Cf، Ck و Cd هم در ادامه تعریف میشود.
فرض میشود که اگر اعوجاج به مقدار بحرانی نسبت به شعاع قطره برسد، قطره شکسته خواهد شد. این الزام شکست در قالب معادله (381) بیان میشود. در این معادله Cb مقدار ثابت و برابر 0.5 است. در نتیجه فرض بر اینست شکست زمانی اتفاق میافتد که قطره به اندازه نصف شعاع قطره اعوجاج پیدا کند. به عبارت دیگر نوسانات در قطبهای (Poles) شمال و جنوب قطره نسبت به مرکز آن به اندازه نصف شعاع قطره باشد. در واقع این شرط به طور ضمنی فرض میکند که قطره تنها تحت یک مود نوسانی (مود اصلی) قرار میگیرد. با تعریف y=x/(Cbr) و جایگزینی آن در معادلات (378 تا 380)، معادله (377) بدون بعد میشود (رابطه 381). در معادله (381) شکست زمانی اتفاق میافتد که y>1 باشد.
برای قطرات تحت میرایی با فرض ثابت بودن سرعت نسبی، معادله حاکم بر y به راحتی از معادله (382) قابل استخراج است (رابطه 383). در معادله (383)، u سرعت متوسط بین قطر و فاز گاز میباشد. همچنین We عدد وبر قطره، نیز یک پارامتر بدون بعد است که نسبت نیروی آئرودینامیکی به نیروهای تنش سطحی را تعریف میکند. فرکانس نوسان قطره هم با پارامتر ω مشخص میشود.
بر اساس تحقیقات لیو (Liu) و همکاران [2]، مقدار پیش فرض y0، صفر است. ثابتها به گونهای انتخاب شدهاند تا نتایج تجربی و تئوری انطباق مناسبی با یکدیگر داشته باشند [3]. اگر معادله (383) برای تمام قطرات حل شود، قطراتی که در آنها y>1 باشد شکسته میشوند. البته اندازه و سرعت بچه قطرهها باید مشخص شوند.
اندازه بچه قطرهها
با معادل قرار دادن انرژی قطره والد با جمع انرژی بچه قطرهها، اندازه بچه قطرهها به دست میآید. انرژی قطره والد به صورت معادله (391) تعریف میشود [4]. در این معادله k نسبت انرژی کل در اعوجاج و نوسان به انرژی در مود اصلی قطره از مرتبه (10/3) میباشد. فرض بر اینست که بچه قطرهها در بدو تولد هیچگونه نوسان و اعوجاجی ندارند. بنابراین، انرژی بچه قطرهها را میتوان در قالب معادله (392) بیان نمود. پارامتر r32 در این معادله همان شعاع میانگین ساتر در توزیع اندازه قطره است. این پارامتر را میتوان با مساوی قرار دادن انرژی والد و بچهها (معادلات 391 و 392) و با فرض y=1 و ω2=8σ/(ρl r3) بدست آورد (معادله 393). با مشخص شدن r32 اندازه بچه قطرهها نیز تعیین میشود. تعداد بچه قطرهها هم به سادگی از قانون بقای جرم قابل محاسبه است.
سرعت بچه قطرهها
مدل TAB اجازه میدهد که مؤلفه عمود سرعت جریان نسبت به بردار سرعت قطره والد به سرعت بچه قطرهها اعمال میشود. زمانیکه شکست قطره اتفاق میافتد خط استوای قطره والد با سرعت dx/dt=Cbr(dy/dt) حرکت میکند. بنابراین، بچه قطرهها از یک سرعتی که عمود بر بردار سرعت قطره والد است برخوردار میشوند (معادله 394). در این معادله Cv ثابت و از مرتبه 1 میباشد.
شکست قطره
برای مدلسازی شکست قطره، مدل TAB ابتدا دامنه نوسانی نامیرا (td≈ꝏ) را برای هر قطره در گام زمانی n و با استفاده از رابطه (395) را محاسبه میکند. طبق معادله (395) شکست قطره زمانی اتفاق میافتد که شرایط موجود در رابطه (396) برقرار باشد. در واقع این رابطه، همانند میرایی که صرفا شانس شکست قطره را کم میکند، یک محدود کننده است. اگر قطره در ارضای شرط (396) شکست بخورد، شکستی اتفاق نخواهد افتاد. در نتیجه، تنها محاسبات اضافی مورد نیاز به روز رسای y با استفاده از فرم گسسته معادله (383) و مشتقات آن است که هر دو مبتنی بر تئوریهای اورورک (O’Rourke) و آمسدن (Amsden) در مرجع [4] هستند. تمام ثابتهای موجود در روابط (397) و (398) در طول هر گام زمانی بدون تغییر باقی میمانند.
اگر شرط معادله (396) برآورده شود، شکست قطره امکانپذیر خواهد بود. زمان شکست، tbu، باید تعیین شود تا ببینیم آیا جدایی در طول گام زمانی، Δt، رخ میدهد یا خیر. مقدار tbu برای تعیین زمان مورد نیاز برای نوسانات به اندازهای تنظیم میشود که بزرگی اعوجاج قطره، y، برابر با واحد باشد. با فرض اینکه نوسان قطره در اولین پریود خود نامیراست، زمان شکست تعیین میشود. بنابراین زمان شکست کوچکترین ریشهی بزرگتر از tn نسخه نامیرای معادله (383) میباشد.
اگر tbu >tn+1 باشد، آنگاه شکست در طول گام زمانی اتفاق نخواهد افتاد و y و dy/dt بوسیله معادلات (397) و (398) آپدیت میشوند. پس محاسبات شکست با قطره بعدی ادامه مییابد. در مقابل اگر tn< tbu < tn+1 باشد، آنگاه شکست اتفاق افتاده و شعاع بچه قطرهها با استفاده از معادله (393) محاسبه میشود. تعداد بچه قطرهها، N، نیز از قانون بقای جرم معلوم میشود (معادله 402).
همانطور که بیان شد فرض بر اینست که بچه قطرهها در بدو تولد نه اعوجاج دارند و نه اینکه نوسان میکنند. به عبارت دیگر رابطه y=(dy/dt)=0 برقرار است. این بچه قطرهها توسط تعداد بچه پارسلها تولید شده از یک پارسل اصلی بیان میشوند. بچه پارسلها در امتداد خط استوای قطره والد و در صفحه عمود بر بردار سرعت نسبی آن توزیع میشوند. قطر هر یک از بچه پارسلها از توزیع روسین-راملر مبتنی بر شعاع متوسط ساتر (معادله 393) و پارامتر پخش (Spread Parameter) برابر با 3.5 بدست میآید.
یک مؤلفه سرعت عمود بر بردار سرعت نسبی به مقدار محاسبه شده در معادله (394) به بچه قطرهها تحمیل میشود. بردار سرعت تحمیل شده خود نیز به مؤلفههایی در جهت شعاعی و به سمت بیرون تجزیه میشود.
بید توجه داشت که تعداد بسیار زیاد بچه پارسلها توزیع ملایم قطر قطرات و ترمهای چشمهای نظیر تبخیر اسپریها که برای شبیه سازی مورد نیاز هستند را تضمین میکند.
[1] G. I. Taylor. “The Shape and Acceleration of a Drop in a High Speed Air Stream, Technical Report”. In the Scientific Papers of G. I. Taylor.ed., G. K. Batchelor. 1963.
[2] A. B. Liu, D. Mather, and R. D. Reitz. “Modeling the Effects of Drop Drag and Breakup on Fuel Sprays”. SAE Technical Paper 930072.SAE. 1993.
[3] H. Lamb. Hydrodynamics, Sixth Edition. Dover Publications, New York. 1945.
[4] P. J. O’Rourke and A. A. Amsden. “The TAB Method for Numerical Calculation of Spray Droplet Breakup”. SAE Technical Paper 872089.SAE. 1987.
:[5]
https://www.researchgate.net/figure/Taylor-Analogy-Break-up-model_fig2_348522301