معادلات دیفرانسل جزئی

Partial Differential Equation

معادلات دیفرانسل جزئی به معادلاتی گفته می‌شود که متغیرهای آن تابع دو یا چند متغیر مستقل بوده که به شکل ترمهای مشتقی در معادله ظاهر شده باشد. معادلات دیفرانسیل جزئی را می‌توان بصورتهای مختلف دسته‌بندی نمود. خطی بودن یا غیر خطی بودن، داشتن مرتبه اول یا دوم، همچنین رفتار حل آنها که مرتبط با نوع فیزیک حاکم است، دسته‌بندی‌های مختلفی را معرفی می‌کنند.

معادلات دیفرانسل جزئی خطی و غیر خطی

در یک معادله دیفرانسیل خطی، کلیه ترمهای معادله خطی می‌باشد. در اینگونه معادلات، می‌توان پاسخهای مجزا را با یکدیگر جمع کرده و پاسخ دیگری برای معادله اصلی بدست آورد (اصل بر هم نهی یا همان Superposition). معادله پیوستگی جریانهای تراکم‌پذیر (معادله 1) نمونه‌ای از یک معادله خطی بوده که در آن‌x، ‌y و‌t متغیرهای مستقل و ‌‌‌‌‌‌‌ρ، ‌‌‌u وv متغیرهای وابسته می‌باشد.

معادلات دیفرانسیل غیر خطی به معادلاتی گفته می‌شود که در آن حاصل ضرب متغیرهای وابسته و یا حاصل ضرب دیفرانسیل آن (و یا ترکیبی از این دو) در ترمهای معادله موجود باشد. برخلاف معادلات خطی، در معادلات غیر خطی نمی‌توان پاسخها را با یکدیگر جمع کرده و پاسخ دیگری برای معادله اصلی بدست آورد. معادله (2) نمونه‌ای از یک معادله دیفرانسیل غیر خطی است. این معادله در حقیقت معادله اندازه حرکت در جهت x در یک جریان تراکم‌ناپذیر می‌باشد.

در معادلات (1) و (2) u، v، p و ρ به ترتیب مؤلفه x سرعت، مؤلفه y سرعت، فشار استاتیک و چگالی سیال می‌باشند. در معادله (2) υ ضریب به عنوان لزجت سینماتیک تعریف می‌شود. همچنین در این معادله ترمهای uu_x وvu_y (جملات جابجایی: Convection Terms) ترمهای غیر خطی هستند که مشکل‌سازترین جملات از لحاظ حل عددی نیز می‌باشند. باید توجه داشت که در حالتی خاص به معادلات غیر خطی معادلات شبه خطی (Quasi Linear) نیز می‌گویند و آن حالتی است که معادله دیفرانسیل نسبت به بالاترین مشتق خود، خطی باشد.

معادلات دیفرانسل جزئی مرتبه اول و مرتبه دوم

بزرگترین درجه مشتق متغیرهای وابسته نسبت به متغیرهای مستقل بیانگر مرتبه یک معادله دیفرانسیل می‌باشد. معادله (3) نمونه‌ای از یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه اول و معادله (4) نمونه‌ای از یک معادله دیفرانسیلی جزئی مرتبه دوم است.

این موضوع برای دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی نیز صادق است. بعبارت دیگر بزرگترین مرتبه مشتق موجود در یک دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی بیانگر مرتبه آن دستگاه می‌باشد.

تقسیم بندی معادلات دیفرانسل جزئی از نقطه نظر رفتار حل آنها

یکی از روشهای شناسایی نوع معادلات دیفرانسیل جزئی از نقطه نظر رفتار حل آنها بدست آوردن معادله مشخصه‌ای مرتبط با آنهاست. در ادامه با آوردن چند مثال این روش بطور کامل معرفی می‌شود. بعنوان مثال، معادلات حاکم بر یک جریان تراکم پذیر غیر لزج با فرض غیر چرخشی بودن بصورت دستگاه معادلات (5) می باشد. در این معادله c سرعت صوت می‌باشد. حال جهت ایجاد دستگاهی که بتوان معادله مشخصه آن را بدست آورد، چهار مجهول u_x، u_y، v_x و v_y را در معادلات مذکور می‌توان در نظر گرفت.

با توجه به این که تعداد مجهولات از تعداد معادلات بیشتر می باشد، لازمست از معادلات کمکی استفاده نمود. از آنجائیکه، ( u=f(x, y و ( v=g(x, y می باشد، لذا با مشتق گیری از این دو رابطه با استفاده از قانون زنجیره‌ای (Chain Role) می‌توان دو معادله کمکی (6) را استخراج نمود. با ترکیب معادلات (5) و (6) دستگاه معادلات (7) ایجاد می شود. دستگاه معادلات (7) را می‌توان بصورت دستگاه معادلات (8) باز نویسی کرد. بدیهی است برای محاسبه مقادیر ویژه دستگاه معادلات (8)، کافیست دترمینان ماتریس ضرائب برابر با صفر منظور گردد. لذا رابطه (9) برقرار خواهد بود. با توجه به رابطه فوق، می‌توان بررسی نمود که آیا مشخصه‌ای با شیب مشخص (dy/dx) وجود دارد یا خیر. لذا با معادله(10) سروکار خواهیم داشت.

در معادله (10)، M عدد ماخ بوده که بصورت V/c تعریف شده که در آن V اندازه سرعت و c سرعت صوت می‌باشند. با اندکی توجه به این معادله، می‌توان به این نکته پی برد که سه حالت برای مقدار M ممکن است وجود داشته باشد.

این سه حالت عبارتند از:

1>M؛ در این حالت سرعت جریان کمتر از سرعت صوت می‌باشد و دستگاه معادلات ماهیت بیضوی (Elliptic) دارد. بعبارت دیگر، هیچگونه مقدار مشخصه حقیقی وجود ندارد (خط مشخصه‌ای وجود ندارد که بتوان شیب آن‌ را بدست آورد).
1=M ؛ در این حالت سرعت جریان برابر با سرعت صوت بوده و دستگاه معادلات ماهیت سهموی (Parabolic) دارد. بعبارت دیگر، تنها یک مقدار ویژه حقیقی برای دستگاه معادلات مذکور وجود دارد (فقط یک خط مشخصه با شیب مشخص وجود دارد).
1<M ؛ سرعت جریان در این حالت بیشتر از سرعت صوت می‌باشد و دستگاه معادلات ماهیت هذلولوی (Hyperbolic) دارد. بعبارت دیگر، دستگاه معادلات یاد شده دارای دو مقدار ویژه حقیقی است (دو خط مشخصه با شیبهای مشخص وجود دارد).

بطور مشابه برای یک معادله کلی درجه دوم دیفرانسیل جزئی (معادله 11) و با استفاده از قانون زنجیره‌ای می توان دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم (معادله 12) را ایجاد نمود.

همانند حالت قبل، می‌توان ماهیت دستگاه معادلات (12) را نیز بررسی کرد. با بازنویسی دستگاه معادلات (12) بصورت معادله (13) و با صفر منظور نمودن دترمینان ماتریس ضرائب در این معادله، رابطه (14) حاصل می‌شود. با توجه به رابطه (14) حالتهای زیر امکان پذیر است:

b²-4ac<0؛ ماهیت معادله بیضوی و هیچ مقدار مشخصه حقیقی وجود ندارد،
با شرط b²-4ac=0؛ ماهیت معادله سهموی و تنها یک مقدار مشخصه حقیقی وجود دارد و
b²-4ac>0؛ ماهیت معادله هذلولوی و دو مقدار مشخصه حقیقی وجود دارد.

معادلات بیضوی

اگر در ناحیه‌ای، حالت 1 معادلات (10) و (14) برقرار باشد، معادله دیفرانسیل جزئی در آن ناحیه ماهیت بیضوی دارد. همانطور که در این روابط مشخص است، معادلات دیفرانسیل جزئی در این نواحی، از منحنی مشخصه واقعی برخوردار نیست. لازم به ذکر است که معادلات بیضوی با عنوانهای مسئله تعادلی(Equilibrium Problem) یا مسئله توزیع(Distribution Problem) نیز بیان می‌شود، چراکه اغتشاش ایجاد شده در هر نقطه بطور یکسان در همه جهات منتشر می‌شود. بعبارت دیگر نمی‌توان گفت که در یک جهت وابستگی بیشتری وجود دارد، بلکه میزان تأثیر‌پذیری و تأثیر گذاری در تمام جهات یکسان است (شکل 1). بعنوان مثال، می‌توان به جریان تراکم ناپذیر در یک حفره اشاره کرد (شکل 2).

باید توجه داشت که در معادلات دیفرانسیل جزئی بیضوی در هیچ یک از نقاط داخل دامنه محاسباتی، حل معادله نامعین نمی‌باشد. از طرفی هیچگونه جهت مشخصی(Characteristic Direction) نیز در دامنه محاسباتی وجود ندارد. معادلات پواسون (15) و لاپلاس (16) نمونه‌هایی ساده از معادلات دیفرانسیل جزئی بیضوی هستند.

بطور کلی، خصوصیات یک معادله دیفرانسیل جزئی بیضوی عبارتست از:

دامنه حل یک معادله دیفرانسیل جزئی بیضوی ناحیه بسته‌ای است،
اغتشاشات در تمام جهات بطور یکسان منتشر می‌گردد و
حل معادلات دیفرانسیل جزئی بیضوی خطوط مشخصه حقیقی ندارد.

معادلات هذلولوی

اگر در تمام دامنه محاسباتی، حالت سوم معادلات (10) و (14) برقرار باشد، معادله دیفرانسیل جزئی، یک معادله هذلولوی خواهد بود. بنابراین، در اینگونه معادلات حداقل دو خط مشخصه وجود دارد که دامنه محاسباتی را به قلمروهای سکوت، تأثیرگذار و متأثر تقسیم می‌کند. رژیمهای جریان مافوق صوت همواره یک مسئله مقدار ویژه بوده و معادلات حاکم بر آنها از ماهیت هذلولوی برخوردار است. در شکل (3) خطوط مشخطه در یک نقطه دلخواه از میدان جریان به صورت اغراق آمیز نشان داده شده است (معمولاً خطوط مشخصه انحناء دارد). معادلات هذلولوی تحت عنوان مسائل مقدار ویژه(Eigen Value Problem) نیز بیان می‌شود.

با توجه به وجود خطوط مشخصه در اینگونه معادلات، انتشار اغتشاشات در امتداد این خطوط انجام می‌گیرد. معادلات موج مرتبه اول (17) و دوم (18) مثالهای ساده‌ای از معادلات هذلولوی مرتبه اول و دوم است.

که در آنها α سرعت انتشار است. بطور کلی، خصوصیات یک معادله دیفرانسیل جزئی هذلولوی عبارتست از:

اغتشاشات در امتداد خطوط مشخصه منتشر می‌شود.
معادلات دیفرانسیل جزئی هذلولوی، دارای حداقل دو خط مشخصه می‌باشد.

معادلات سهموی

در صورتیکه حالت دوم معادلات (10) و (14) برای تمام نقاط دامنه محاسباتی برقرار باشد، معادله دیفرانسیل جزئی، یک معادله سهموی خواهد بود. در اینگونه معادلات فقط یک خط مشخصه وجود دارد که دامنه محاسباتی را به دو قلمرو تأثیرگذار و متأثر تقسیم می‌کند (شکل 4). معادلات سهموی تحت عنوان مسائل انتشار(Propagation Problem) نیز بیان می‌شود.

فرآیند حل عددی یک معادله سهموی به این صورت است که در ابتدای جریان (از نظر زمانی یا مکانی) شروع و به پایین دست جریان پیش می‌رویم(Marching). با توجه به وجود یک خط مشخصه در اینگونه معادلات، انتشار اغتشاشات در امتداد این خط می‌باشد. توجه شود که معادلات سهموی حالت خاصی از معادلات هذلولوی می‌باشد. معادله انتقال حرارت یک بعدی ناپایا (19) و معادله انتشار لزجت (20) نمونه‌هایی از معادلات سهموی است.

بطور کلی، خصوصیات یک معادله دیفرانسیل جزئی سهموی عبارتست از:

اغتشاشات در امتداد تنها خط مشخصه موجود منتشر می‌شود.
معادلات دیفرانسیل جزئی سهموی دارای یک خط مشخصه می‌باشد.

ماهیت معادلات ناویر- استوکس

قابل توجه است، از آنجا که در حل عددی میدان جریان، عمدتاً معادلات ناویر-استوکس مورد استفاده قرار می گیرد، لذا رفتارشناسی این معادلات از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است. معادلات ناویر-استوکس ترکیبی از معادلات سهموی (ترم زمانی)، هذلولوی (ترم جابجایی) و بیضوی (ترمهای لزجت) می باشد. البته بسته به نوع جریان ممکن است یکی از این معادلات غالب باشد. بعنوان مثال در جریانهای مافوق صوت ترم جابجایی از اهمیت بسیار بیشتری نسبت به ترم لزجت برخوردار بوده و بنابراین، معادلات ناویر-استوکس ماهیت هذلولوی دارد. برعکس، در جریانهای دارای سرعت کم، ترم لزجت غالب بوده و معادلات ناویر-استوکس رفتار بیضوی خواهد داشت. جهت تفکیک این ماهیت‌ها و بررسی اولیه برخوردهای عددی با ترم‌های مشابه ترمهای معادلات ناویر-استوکس سعی شده که روش‌های حل عددی معادلات موج مرتبه اول، لاپلاس و انتشار (گرما) که رد پاهایشان به نحوی در معادلات ناویر-استوکس وجود دارد، بطور جداگانه مورد بحث قرار گیرد.

معادله برگرز (Burgers Equation)

اکنون، با معادلات ساده موج مرتبه اول (هذلولوی)، لاپلاس (بیضوی) و توزیع گرما (سهموی) آشنا شدیم. قابل توجه است که ترکیب این معادلات به نحوی در معادلات حاکم بر جریان سیال (معادلات ناویر-استوکس) مستتر است. مثلاً به معادله بقای اندازه حرکت خطی در جهت x (معادله ) توجه نمائید.

توجه شود که ترم‌های (1) و (2) و یا (1) و (3) مشابه معادله موج مربته اول، ترم‌های (1) و (5) و یا (1) و (6) مشابه معادله توزیع گرما و ترم‌های (5) و (6) مشابه معادله لاپلاس می‌باشد. لذا، ملاحظه می‌شود که معادلات ناویر استوکس (که یکی از آن‌ها معادله بقای اندازه حرکت خطی است) ترکیبی از رفتارهای هذلولوی، سهموی و بیضوی (Mixed Behavier) را دارد. از آنجائیکه معادلات ناویر استوکس خیلی پیچیده هستند، بعضاً برای بررسی آن‌ها از معادله برگر که فرم ساده شده معادله ناویر استوکس است (ترم فشار برابر صفر در نظر گرفته شده) استفاده می‌شود. معادله برگر لزج دو بعدی به صورت معادله (22) می‌باشد. روش‌های متعددی برای حل اینگونه معادلات پیشنهاد شده که روش‌های صریح FTCS، FTBCS (پیشرو در زمان، پسرو در مکان برای ترم‌های هذلولوی و مرکزی در مکان برای ترم‌های بیضوی)، دوفورت فرانکل، مک کورمک و روش‌های ضمنی مک کورمک، BTCS و BTBS از مهمترین این نوع روش‌ها بشمار می‌رود.