حلگر چگالی مبنا (Density-Based Solver)

حلگر چگالی مبنا

Density-Based Solver

حلگر چگالی مبنا (Density-Based Solver) یک نوع حلگر کوپله می‌باشد. در واقع در این حلگر معادلات حاکم پیوستگی، ممنتم و در صورت نیاز انرژی و گونه‌های شیمیایی بطور همزمان حل می‌شوند. سایر معادلات حاکم مربوط به اسکالرهای اضافی نیز بصورت متوالی حل می‌شود. این فرآیند در شکل ابتدای صفحه نشان داده شده است.

 

فرم برداری معادلات حاکم در حلگر چگالی مبنا (Density-Based Solver)

دستگاه معادلات حاکم برای سیال در فرم انتگرالی و مختصات کارتزین در هر حجم کنترل V با مساحت سطح دیفرانسیلی dA را می‌توان بصورت معادله (1) نوشت. بردار H نیز شامل ترمهای چشمه نظیر نیروی وزنی و چشمه‌های انرژی می‌باشد. در بردارهای مذکور ρ، v، E و p به ترتیب چگالی، سرعت، انرژی کل در واحد جرم و فشار سیال است. براساس رابطه (3) انرژی کل به آنتالپی کل وابسته است.

فرم برداری معادلات در حلگر چگالی مبنا

حل معادله ناویر-استوکس بیان شده در معادله (1) برای حالتهایی که اعداد ماخ پایین -جائیکه اختلاف بین سرعت جریان و سرعت صوت زیاد باشد- بسیار مشکل است. این موضوع برای جریانهای تراکم‌ناپذیر نیز صادق است. چراکه در جریانهای تراکم‌ناپذیر صرفنظر از سرعت جریان، سرعت صوت به نسبت بسیار زیاد می‌باشد. این مسئله باعث بروز مشکلات اساسی در همگرائی حل این معادلات می‌شود. در نرم‌افزار FLUENT‌ برای رفع این مشکلات از تکنیک پیش شرط(Preconditioning)  مشتق زمانی استفاده شده است.

پیش شرط (Preconditioning) در معادلات حاکم

پیش شرط مشتق زمانی، ترم وابسته به زمان در معادله (1) را با ضرب کردن در ماتریس پیش شرط، اصلاح می‌کند. این ماتریس پیش فرض، روی مقیاس مجدد سرعت صوت (مقادیر ویژه) سیستم معادلاتی که قرار است بمنظور کاهش سختی در حل عددی جریانهای ماخ پایین یا تراکم‌ناپذیر حل شود، تأثیر می‌گذارد. مشتق ماتریس پیش فرض با انتقال متغیر وابسته در معادله (1) از مقادیر بقائی W به مقادیر اصلی Q و با استفاده از قانون زنجیری بدست می‌آید.

پیش شرط معادلات حلگر چگالی مبنا

برای گاز ایده‌ال: δ=1.

برای گاز تراکم ناپذیر δ=0.

انتخاب متغیرهای Q بعنوان متغیرهای وابسته به چند علت مناسب است. اول اینکه برای شبیه‌سازی جریانهای تراکم‌ناپذیر استفاده از این روش امری طبیعی است. دوم اینکه در مواقعی که دقت مرتبه دوم برای شبیه‌سازی جریان بکار می‌رود، برای افزایش دقت گرادیانهای سرعت و دما در شارهای لزج و گرادیانهای فشار در شارهای غیر لزج، نیاز است که متغیرهای Q بجای متغیرهای W بررسی گردد. در نهایت اینکه انتخاب فشار بعنوان متغیر وابسته موجب می‌شود که انتشار امواج صوت از سیستم شبیه‌سازی کنار گذاشته شود. در نتیجه حل مسئله از پیچیدگی کمتری برخوردار می‌گردد.

معادلات حاکم بر جریان با پیش شرط در حلگر چگالی مبنا

سرعت مرجع Ur در معادله (10) بصورت محلی طوری انتخاب می‌شود که مقادیر ویژه سیستم دستگاه معادلات نسبت به گامهای زمانی جابجایی و انتشار از شرائط مناسبی برخوردار باشد در نتیجه مقادیر ویژه سیستم پیش شرط معادله (8) براساس معادله (11) محاسبه می‌شود.

زمانیکه Ur=c  (در سرعت‌های صوت و بیشتر)، 0=α بوده و مقادیر ویژه سیستم پیش شرط به شکل ساده u±c تبدیل می‌گردد. در سرعتهای پایین Ur→0  و 0.5 → α می‌باشد و بنابراین تمام مقادیر ویژه با u هم مرتبه خواهد بود. برای جریانهای چگالی-ثابت، صرفنظر از میزان سرعت Ur مقادیر0=ᵝ و 0.5=α است. تا زمانیکه سرعت مرجع با سرعت محلی هم مرتبه باشد، مقادیر ویژه نیز هم مرتبه با تمامی u  خواهند بود. در نتیجه مقادیر ویژه سیستم پیش شرط برای تمام سرعتها در شرائط مناسبی قرار خواهد گرفت.

 معادله (8) تنها برای جریان پایا مناسب است. این معادله در برقراری بقای جریانهای ناپایا از حساسیت کافی برخوردار نیست. البته این موضوع مسئله چندان مهمی نیست. چراکه به هرصورت سیستم پیش شرط از همان ابتدا دقت زمانی را از بین برده و به همین خاطر در این قالب برای شبیه‌سازی جریان‌های ناپایا استفاده نمی‌شود.

اما برای جریان‌های ناپایا در صورت اعمال گام زمانی ضمنی با فرمولاسیون زمان دوگانه  (Dual-Time Formulation) یک پیش شرط ناپایا در دسترس است. این پیش شرط ناپایا باعث افزایش دقت حل از طریق بهبود مقیاس اتلاف مصنوعی (Artificial Dissipation) می‌شود. همچنین بخاطر بهینه سازی تعداد تکرارهای مورد نیاز برای هر گام زمانی عملکرد حل را نیز ماکزیمم می‌کند. بویژه برای جریان‌های ماخ پایین و برای هر دو مسله فرکانس پایین (گام زمانی بزرگ) و فرکانس بالا (گام زمانی کوچک) بطور قابل توجهی موجب صرفه‌جویی در زمان محاسبات در مقایسه با حالت‌های بدون پیش شرط می‌شود.

پیش شرط ناپایا بسته به گام زمانی انتخاب شده توسط کاربر و همچنین گام‌های زمانی پژواکی  (Acoustic) و همرفتی (Advective) مقدار پیش شرط را تعیین می‌کند. برای مسائل پژواک گام زمانی با توجه به عدد CFL کوچک است. در این حالت پارامتر U2r به c2 نزدیک می‌شود که بطور مؤثری پیش شرط ماخ پایین را تقریبا بی‌اثر می‌کند. برای مسائل همرفتی غالب مثل جابجایی گردابه‌های آشفته، با توجه به عدد CFL بزرگ، گام زمانی نیز بزرگ خواهد بود. در این حالت پارامتر پیش شرط U2r به سمت u2 میل می‌کند. برای گام‌های زمانی متوسط، پارامتر پیش شرط ناپایا به منظور بهینه سازی عملکرد همگرایی تکرارهای شبه زمانی و تصحیح مقیاس ترم‌های اتلاف مصنوعی، مستقل از انتخاب گام زمانی فیزیکی تطبیق می‌یابند.

 

روش تجزیه تفاضل شار رو Roe-FDS (Roe Flux-Difference Splitting) در حلگر چگالی مبنا (Density-Based Solver)

بردار شار غیر لزج، F، در معادله (8) با استفاده از گسسته سازی استاندارد تفاضل پیشرو شار تجزیه شده است. این تقریب تأیید می‌کند که بردار شار F شامل داده‌های سرعت و جهت جریان در داخل دامنه محاسباتی، با مقادیر ویژه دستگاه معادلات مطابقت دارد. بطور کلی فرم تجزیه شده بردار شار غیر لزج با استفاده از تفاضل پیشرو اشاره شده، را می‌توان بصورت معادله (12) نوشت.

روش تجزیه تفاضل شار رو Roe-FDS

در نرم‌افزار FLUENT میانگین حالتهای QR و QL در نظر گرفته شده است. در این حالت معادله (12) را می‌توان بعنوان تفاضل مرکزی مرتبه دوم و بهمراه یک ماتریس اتلاف اضافی، در نظر گرفت. این ماتریس ترم اتلاف نه تنها برای پیشروی متغیرهای جابجا شده(Upwinding Convected  Variables) فشار و سرعت در جریان مافوق صوت مناسب است بلکه سرعت و فشار را نیز کوپل کرده که موجب پایداری و بهبود همگرائی حل در جریانهای تراکم‌ناپذیر و با سرعت پایین می‌گردد.

 

روش +AUSM در حلگر چگالی مبنا (Density-Based Solver)

یکی از راه‌های جایگزین محاسبه بردار شار F در معادله (8)، استفاده از روش تجزیه بردار شار (Flux Vector Splitting) است. این روش به نام Advection Upstream Splitting Method یا همان (AUSM) شناخته می‌شود. روش یاد شده اولین بار توسط لیو (Liou) و استفان (Steffen) در سال 1993 معرفی شده است. متد AUSM عدد ماخ متناظر هر المان را براساس سرعت‌های مشخصه المان‌های همسایه محاسبه می‌کند. سپس عدد ماخ محاسبه شده برای تعیین برونیابی پیشرو (Upwind Extrapolation) برای مؤلفه‌های جابجایی شارهای غیر لزج استفاده می‌شود. یک تجزیه جداگانه عدد ماخ نیز برای ترم‌های فشار بکار می‌رود. عدد ماخ کلی مبتنی بر توابع تجزیه فشار و جابجایی توسط لیو معرفی گردید در نتیجه مدل به مدل AUSM+ ارتقاء یافت. مهترین ویژگی‌های مثبت این روش عبارتند از:

  • وضوح دقیقی از برخورد یا ناپیوستگی‌های شوک را ارائه می‌دهد
  • مقادیر اسکالر را مثبت نگه می‌دارد.
  • عاری از نوسانات در شوک‌های ثابت و متغیر است.

روش AUSM+  با پیشنهاد شار عددی به فرم معادله (14) از بکارگیری یک اتلاف مصنوعی صریح پرهیز می‌کند.

روش AUSM در حلگر چگالی مبنا

در رابطه بالا  mf شار جرمی عبوری المان می‌باشد. این پارامتر با استفاده از یک تابع چند جمله‌ای مرتبه چهارم طرف‌های چپ و راست عدد ماخ محاسبه می‌شود.

** نرم افزار Fluent از تمامی نسخه‌های سرعت پایین روش +AUSM مبتنی بر پیش شرط عدد ماخ پایین استفاده می‌کند.

 

روش تجزیه تفاضل شار رو انتشار پایین LD Roe-FDS (Low Diffusion Roe Flux-Difference Splitting) در حلگر چگالی مبنا (Density-Based Solver)

با هدف کاهش انتشار در محاسبات LES، نرم افزار Fluent از روش اصلاح شده تجزیه تفاضل شار با عنوان روش تجزیه تفاضل شار انتشار پایین رو (LD Roe-FDS) استفاده می‌کند. این روش از یک پیش شرط عدد ماخ که در آن ترم اتلاف مصنوعی در طی استفاده از روش هیبریدی متشکل از روش‌های پیشرو مرتبه دوم و مرکزی (روش تفاضل شار رو) کاهش می‌یابد، برخوردار است.

در نرم افزار Fluent روش LD Roe-FDS تنها در صورت استفاده از مدل آشفتگی LES همراه با فرمولاسیون زمانی ضمنی گام زمانی دوگانه در دسترس می‌باشد. بکارگیری از روش پیشرو مرتبه دوم همراه با این روش تجزیه به شدت پیشنهاد می‌شود تا بتوان به حداکثر دقت ممکن دست یافت.

گسسته سازی LD Roe-FDS تنها برای جریان‌های زیر صوت کاربرد دارد.

برای جریان‌های ماخ بالا پیشنهاد می‌شود از روش استاندارد Roe-FDS همراه با کسسته سازی پیشرو مرتبه دوم استفاده شود.

در حل مسائل همراه با فرمولاسیون گسسته سازی زمانی صریح (Explicit time)، متد LD Roe-FDS در دسترس نیست. در این شرایط روش استاندارد Roe یا AUSM+ و گسسته سازی مرتبه دوم در دسترس است.

 

روش‌های حل جریان پایا در حلگر چگالی مبنا (Density-Based Solver)

در نرم‌افزار FLUENT سیستم معادلات حاکم Coupled به دو صورت پایا و ناپایا گسسته‌سازی شده است. در حالت پایا یک قدم زنی زمانی تا زمان دست یافتن به حل پایدار منظور می‌گردد. گسسته‌سازی معادلات با در نظر گرفتن گام زمانی برای مسائل پایا به دو صورت صریح (Explicit)ویا ضمنی (Implicit) انجام می‌گیرد. در این قسمت الگوریتمهای مذکور تشریح شده است.

روش صریح حل جریان پایا

در روش صریح از یک الگوریتم وابسته زمانی چند مرحله ]11[ برای گسسته‌سازی معادلات وابسته زمانی در معادله (8) استفاده می‌شود. پیشروی حل از تکرار n به تکرار n+1 با روش رانگ-کوتای m مرحله‌ای بصورت زیر مشخص می‌گردد:

فرمولاسیون صریح جریان پایا در حلگر چگالی مبنا

αi ضریب چند مرحله برای مرحله iام تعریف می‌شود. باقیمانده Ri از میانگین حل Qi و برای معادله (8) و براساس رابطه (15) محاسبه می‌شود. نرخ همگرایی روش صریح می‌تواند با استفاده از روش چند شبکه‌ای (Full-Approximation Storage (FAS شدت بیشتری یابد. همچنین بیشترین گام زمانی می‌تواند با میانگین‌گیری ضمنی باقیمانده‌های هر المان و المانهای همسایه آن، نیز افزایش یابد. باقیمانده‌ها با استفاده از یک عملگر هموارسازی لاپلاسی فیلتر می‌شود. معمولاً دو تکرار ژاکوبین برای افزایش دو برابر گام زمانی با Ɛ=0.5 کافی است.

معادلات روش صریح برای جریان پایا در الگوریتم چگالی مبنا

∆t گام زمینی که از شرط CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) بدست می‌آید.

Af: مساحت وجه المان

λfmax: بیشترین مقدار مقادیر ویژه تعریف شده در معادله (11)

روش ضمنی حل جریان پایا

در روش ضمنی، گسسته‌سازی ضمنی معادله اولر (معادله 8)، با خطی سازی نیوتنی شارها برای تولید سیستم خطی بفرم مثلثی بدست می‌آید.

معادلات روش ضمنی در حل جریان پایا با الگوریتم چگالی مبنا

در معادله (19) مرکز و ماتریس‌های ضرائب غیر از قطر، D و Sj,k از روابط (20) و (21) بدست می‌آید.

همچنین باقیمانده بردار Rn و گام زمانی  به ترتیب در معادلات (15) و (16) تعریف شده است. معادله (19) به روش گوس-سایدل نقطه به نقطه بهمراه روش (Algebraic MultiGrid (AMG منطبق با دستگاه معادلات کوپل شده، حل می‌شود.

خلاصی صریح (Explicit Relaxation) می‌تواند همگرایی فرمولاسیون ضمنی در حالت پایا را بهبود بخشد. طبق پیش فرض نرم افزار Fluent خلاصی صریح در حلگر ضمنی فعال بوده و مقدار آن 0.75 است. شما می‌توانید با تعیین مقدار α تغییرات بردار حل، Q، را در هر تکرار و بعد از چرخه چند شبکه‌ای AMG کنترل نمایید (معادله 22). با تعیین مقدار کمتر از 1 برای α متغیرهای بردار حل زیر-خلاصی (UnderRelaxed) گشته و تاریخچه همگرایی بهبود خواهد یافت. خاطر نشان می‌گردد خلاصی صریح تنها برای حلگر فشار مبنا و در مود وضعیت پایا (Steady State) در دسترس می‌باشد.

خلاصی صریح در حلگر چگالی مبنا

شتاب همگرایی برای شبکه‌های کشیده

در صورت وجود المان‌های کشیده و با نسب منظری (Aspect Ratio) بالا در نزدیکی دیواره‌ها، روش سنتی حل ضمنی از نرخ همگرایی پایین ناشی از مقادیر اندک گام زمانی محلی رنج می‌برد! گام زمانی تعریف شده در معادله (16) برای حل ضمنی می‌توواند بر مبنای بزرگترین طول مشخصه المان تصحیح و بصورت معادله (23) باز نویسی شود.

تصحیح گام زمانی برای شبکه های کشیده

AR: نسبت منظری و برابر نسبت بزرگترین طول المان به کوچکترین طول آن تعریف می‌شود.

تعریف جدید مقدار CFL محلی از یک المان به المان دیگر را بطور مؤثری تغییر می‌دهد. این تغییر بر اساس نسبت منظری هر المان استوار است. در مواقعی که نسبت منظری المان به یک نزدیک باشد، مقدار CFL همان مقدار تعریف شده توسط شما می‌باشد. از طرف دیگر در المان‌های با نسبت منظری بالا مقدار CFL در نسبت منظری ضرب می‌شود. این تعریف جدید گام زمانی نرخ همگرایی را بویژه برای المان‌های با  Y+  نزدیک به 1 را بطور قابل توجهی افزایش می‌دهد.

 

روش‌های حل جریان ناپایا در حلگر چگالی مبنا (Density-Based Solver)

برای حل مسائل درگیر با زمان از هر دو روش قدم زنی زمانی صریح و ضمنی می‌توان استفاده کرد. لازم به توضیح است که قدم زنی زمانی با روش ضمنی با عنوان قدم زنی زمانی دوگانه (دو تکرار برای حل یک مسئله ناپایا) نیز تعریف شده است. در این قسمت هر یک از روش‌های یاد شده برای جریانهای ناپایا به اختصار توضیح داده شده است.

قدم زنی زمانی صریح

در تقریب قدم زنی زمانی صریح، از همان روش صریح توضیح داده شده، بکار گرفته می‌شود. در این روش از گام زمانی برای هر المان دامنه محاسباتی و همچنین غیر فعال بودن پیش شرط، استفاده می‌شود.

رویکرد گام زمانی صریح، تنها برای روش صریح توضیح داده شده در بالا موجود است. در این روش گام زمانی زمان با شرایط CFL  تعیین می شود. برای حفظ دقت حل، قدم زنی زمانی صریح از یک گام زمانی برای تمام سلول‌های دامنهاستفاده می کند. این گام زمانی به گام زمانی سراسری (Global-Time Step) نیز شناخته می‌شود و طبق پیش فرض غیر فعال است. به طور پیش فرض، نرم افزار Fluent از روش 4 مرحله‌ای رانگ- کوتا (Runge Kutta) برای حل جریان‌های ناپایا استفاده می‌کند.

قدم زنی زمانی ضمنی (دوگانه)

گام زمانی ضمنی (دوگانه) برای فرمولاسیون صریح و ضمنی روش چگالی-مبنا در Fluent در دسترس است. Fluent هنگام انجام شبیه سازی با گام زمانی ضمنی از یک پیش شرط ناپایای مشتق شده از عدد ماخ پایین و به منظور دستیابی به دقت مناسب در هر دو پدیده همرفتی (مثل آشفتگی ناپایا) و پژواکی (همانند انتشار امواج) استفاده می‌کند. برای حل دقیق زمانی معادلات پیش شرط، از روش چند مرحله قدم زنی زمانی دوگانه استفاده می‌شود. بهمین منظور یک ترم مشتق زمانی مجازی به معادله (27-9) اضافه می‌شود.

روش ضمنی حل جریان ناپایا با الگوریتم چگالی مبنا

که t زمان حقیقی و Ʈ زمان مجازی بکار رفته در قدم زنی زمانی می‌‌‌‌‌‌‌‌باشد. باید توجه داشت در صورت Ʈ→∞، ترم دوم سمت چپ معادله (23) صفر شده و این معادله به حالت اصلی معادله (1) تبدیل می‌شود. ترم وابسته زمانی در معادله (23) به روش ضمنی و بصورت دقت مرتبه اول یا دوم تفاضل پسرو در زمان گسسته‌سازی می‌گردد (معادله 24).  تکرار داخلی معکوس و  بر اساس هر گام زمانی حقیقی در نظر گرفته می‌شود.

گام زمانی مجازی در هر گام زمانی حقیقی از صفر در نظر گرفته می‌شود. بعبارت دیگر در هر گام زمانی حقیقی مسئله بصورت سعی و خطا حل شده تا پاسخها همگرا گردد و سپس پاسخهای بدست آمده بعنوان شرط اولیه برای گام زمانی حقیقی بعدی بکار می‌رود. بطور کلی حل هر مسئله ناپایا از دو تکرار تشکیل شده که تکرار اول مربوط به گام زمانی حقیقی و تکرار دوم (تکرار داخلی) برای گام زمانی مجازی می‌باشد.

در تکرار داخلی، قدم زنی زمانی مجازی می‌تواند به هر دو صورت صریح یا ضمنی انجام شود.  همچنین در تکرار داخلی (مربوط به زمان مجازی) wn و wn-1 ثابت بوده و wk از Qk بدست می‌آید. در مواقعی که Ʈ→∞، گام زمانی حقیقی بعدی، wn+1 بر اساس w(Qk) محاسبه می‌گردد. باید توجه داشت که گام زمانی حقیقی،∆t ، تنها بوسیله سطح دقت موقت در نظر گرفته شده محدود می‌شود. گام زمانی مجازی،∆Ʈ ، نیز بوسیله شرط CFL در روش قدم زنی زمانی (صریح یا ضمنی) منظور می‌گردد.

در جدول زیر تمامی روش‌های عددی حل قابل دسترس همراه حلگر چگالی مبنا در Fluent درج شده است.

 

روش‌های همراه با حلگر چگالی مبنا در Fluent

Solution Method

Density-Based Solver – Explicit Formulation

Density-Based Solver – Implicit Formulation

Steady-State

– 3-stage Runge-Kutta

– local time step

– local time step

– time-derivative preconditioning

– time-derivative preconditioning

— FAS

Unsteady – Explicit Time Stepping

– 4-stage Runge-Kutta

N/A

– global time step

– no time-derivative preconditioning

– No FAS

Unsteady – Implicit Time Stepping (dual-time formulation) First Order

– dual-time formulation

– dual-time formulation

– Physical time: first order Euler backward

– Physical time: first order Euler backward

– preconditioned pseudo-time derivative

– preconditioned pseudo-time derivative

– inner iteration: explicit pseudo-time marching, 3-stage Runge-Kutta

– inner iteration: implicit pseudo-time marching

Unsteady – Implicit Time Stepping (dual-time formulation) Second Order

– dual-time formulation

– dual-time formulation

– Physical time: second-order Euler backward

– Physical time: second-order Euler backward

– preconditioned pseudo-time derivative

– preconditioned pseudo-time derivative

– inner iteration: explicit pseudo-time marching, 3-stage Runge-Kutta

– inner iteration: implicit pseudo-time marching

 

بازگشت

مطالب مرتبط

حل میدان‌های جریان‌های تراکم‌ناپذیر و تراکم پذیر با استفاده از نرم افزارهای CFD

معرفی حلگرهای فشار مبنا و چگالی مبنا

حلگر فشار مبنا (Pressure-Based)

برای کسب اطلاعات بیشتر با ما تماس بگیرید

محمدرضا کلیچ