حل میدان‌های جریان‌های تراکم‌ناپذیر و تراکم پذیر با استفاده از نرم افزارهای CFD

Compressible And Incompressible Flow Simulation in CFD Softwares

در مباحث ترمودینامیک و دینامیک سیالات محاسباتی، تراکم پذیری، اندازه‌ی تغییرات نسبی حجم سیال در پاسخ به تغییرات فشارهای اعمالی بر روی سیال می باشد. باید توجه داشت که مقدار تراکم پذیری به شدت به نوع فرآیند ان بستگی دارد که آیا تراکم پذیری در یک فرآیند دما ثابت اتفاق می افتد و یا بصورت آدیاباتیک می باشد.تعاریف متعددی از تراکم پذیری براساس فرایندهای هم دما یا آدیاباتیک و سرعت صوت بیان شده است که جزئیات آنها در مراجع بسیاری ارائه شده است. درصورتیکه تغییرات چگالی در حرکت گازها نسبت به حالت استاندارد گاز قابل توجه باشد (بیش از 5 درصد) آنگاه لازمست تراکم پذیری را در محاسبات لحاظ نمود. تراکم پذیری میتواند ناشی از سرعت زیاد (بحث سرعت صوت و عدد ماخ مطرح می شود)، تغییرات قابل توجه دما و یا فشار وارده (بیش از 10 درصد تغییرات فشار نسبت به حالت استاندارد) به سیستم باشد.

تعریف جریانهای تراکم پذیر و تراکم ناپذیر

با توجه به تعاریف تراکم پذیری هر جریان که شامل یکی از معیارهای تراکم پذیری قید شده در پایین (سرعت، دما و یا فشار) باشد را جریان تراکم پذیر و در غیر اینصورت جریان تراکم ناپذیر گویند. عمده ترین بحث تراکم پذیری جریان به سرعت جریان مربوط می باشد که بطور خلاصه میتوان سرعت جریان در قالب عدد ماخ (کمیت بدون بعد و نسبت سرعت جریان به سرعت صوت، M.) بیان نمود:

الف- M<0.3 زیر صوت و تراکم ناپذیر

ب- M بین 0.3 تا 0.8؛ زیر صوت و تراکم پذیر

ج- M بین 0.8 تا 1.2؛ گذر صوت و تراکم پذیر ؛ در این نوع جریانها شاهد بروز امواج شاک و ترکیبی از دو رژیم جریان زیر صوت و مافوق صوت هستیم

د- M بین 1.2 تا 3.0؛ مافوق صوت و تراکم پذیر، وقوع شاکهای قویتر نسبت به جریان گذر صوتی و عدم وجود رژیم زیر صوت از مهمترین ویژگیهای این نوع جریان می باشد.

ه 3.0<M ماوراء صوت و تراکم پذیر، امواج شاک و سایر تغییرات جریان در این این نوع از رژیمهای جریان به شدت قوی و بسیار زیاد است.

در جریانهای تراکم پذیر سهم نیروهای ناشی از فشار نسبت به نیروهای اصطکاکی به شدت افزایش پیدا کرده و مباحثی همچون امواج شاک و بافتینگ (Buffeting) بسیار اهمیت پیدا می کند. در این نوع جریانها تغییرات دما بر اساس تغییرات چگالی قابل توجه است. بنابراین متغییرهای دما و چگالی نیز به متغییرهای جریان تراکم ناپذیر که شامل فشار و مولفه های سرعت می باشد اضافه شده و متغیرهای اصلی جریانهای تراکم پذیر را به شش متغیر افزایش می دهد.

جریانهای تراکم ناپذیر بدون در نظر گرفتن انتقال حرارت شامل 4 متغیر اصلی فشار و مولفه های سرعت می باشد که با حل کردن معادلات پیوستگی و سه معادله ممنتم در سه مولفه محور مختصات دستگاه معادلات بسته و معادله حل می شود. اما در جریانهای تراکم پذیر دستگاه معادلات متشکل از متغیر اضافی دما و چگالی، با اضافه کردن دو معادله انرژی و گازهای کامل، بسته شده و میدان جریان حل می شود.

مهمترین ویژگیهای جریانهای تراکم پذیر عبارتست از:

الف- همواره با انتقال حرارت همراه است.

ب- همواره با آشفتگی همراه است و در بسیاری از موارد به دلیل ساده سازی غیر لزج فرض می‌شود.

ج- تغییرات گرادیان‌های جریان در نزدیکی دیواره‌ها و دنباله‌ها بسیار بالاست

روش‌های حل میدان جریانهای تراکم پذیر و تراکم ناپذیر

دو دسته روشهای اصلی برای حل میدانهای جریان وجو دارد که با عناوین روشهای فشار مبنا (Pressure Based) و چگالی مبنا (Density Based) شناخته شده اند. اساسا ابتدا از روش‌های فشار مبنا عمدتا برای جریانهای تراکم ناپذیر و همچنین جریان‌های تراکم پذیر و البته با شدت تراکم پذیری پایین استفاده می شد. در حالی که حلگرهای چگالی خاص جریانهای تراکم پذیر مورد استفاده قرار می‌گرفت. اما امروزه هر دو روش در تمامی گستره تراکم پذیری از جریان تراکم ناپذیر تا جریان با تراکم پذیری بسیار بالا مورد استفاده قرار می‌گیرند هر چند همچنان استفاده از روش‌های چگالی مبنا برای شبیه سازی پدیده‌های همراه با گرادیان‌های شدید همانند امواج شاک در جریان‌های مافوق صوت توصیه می‌گردد. فرآیند حل در روشهای فشار مبنا و چگالی مبنا تا حدودی متفاوت است که در ادامه توضیح داده شده است.

روش‌های فشار مبنا

همانطور که اشاره شد معادلات حاکم برجریان از معادلات پیوستگی، ممنتم، انرژی و معادلات اضافه‌ی دیگری برای محاسباه مقادیر اسکالری نظیر متغیرهای مرتبط با آشفتگی جریان تشکیل شده است. در واقع روش‌های فشار مبنا متشکل الگوریتم‌های متعدد مورد استفاد در فرآیند حل معادلات حاکم بر میدان جریان و بویژه کوپلینگ متغیرهای فشار و سرعت می‌باشد. از طرفی برای حل میدان جریان با استفاده از حلگرهای فشار مبنا می‌توان از یکی الگوریتم‌های کوپل شده (Coupled) و یا مجزا (Segregated) استفاده کنید.

حل معادلات ناویر استوکس به روش فشار مبنا با الگوریتم کوپل شده

شکل بالا نشان می‌دهد که در الگوریتم کوپل شده پس از اعمال شرایط اولیه (یا به روز رسانی مقادیر) ابتدا، معادلات پیوستگی فشار مبنا و ممنتم بصورت همزمان حل شده و پس از تصحیح شار جرمی سایر معادلات اسکالر مثل آشفتگی، انرژی، گونه‌های شیمیایی و غیره حل می‌شود و در نهایت شرایط همگرایی چک می‌شود.

حل معادلات ناویر استوکس به روش فشار مبنا با الگوریتم مجزا (جدا شده)

در الگوریتم مجزا (جدا شده) پس از اعمال شرایط اولیه (یا به روز رسانی مقادیر) ابتدا معادلات ممنتم در سه بعد بصور مجزا و متوالی حل می‌شوند، سپس معادله پیوستگی برای تصحیح مقدار فشار حل می‌شود. در ادامه مقادیر شار جرم، سرعت‌ها و فشار تصحیح می‌گردد و پس از آن با حل سایر معادلات اسکالر مثل آشفتگی، انرژی، گونه‌های شیمیایی و غیره، در نهایت شرایط همگرایی چک می‌شود. برای حل میدان جریان به روش مجزا می‌توان از یکی از متدهای SIMPLE، SIMPELER، SIMPLEC، PISO و یا Staggered Grid استفاده نمود. البته Staggered Grid یک روش تفاضل محدود (Finite Difference Method) می‌باشد که عمدا کاربرد آن در مسائل آکادمیک است و در دسته معادلات حجم محدود (Finite Volume Method) قرار نمی‌گید.

متد (Semi-Imlicit Method for Pressure Linked Equations (SIMPLE

الگوریتم SIMPLE یک الگوریتم بسیار پرکاربرد در حل معادلات نویر استوکس می‌باشد که توسط برایان اسپالدینگ (Brian Spalding) و دانشجوی معروفش سوهاس پاتنکار (Suhas Patankar) در ایمپریال کالج در اوایل دهه 1970 میلادی توسعه یافته است. الگوریتم SIMPLE در واقع یک روش فشار مبنای مجزا می‌باشد که فرآیند حل میدان جریان بوسیله آن در شکل زیر نشان داده شده که از همان کلاس الگوریتم مجزا است.

متد SIMPELER

متد SIMPELER یا همان SIMPLE Revised تصحیح شده مدل SIMPLE می‌باشد که توسط خود پاتنکار توسعه یافته است. در این روش قبل از حل معادلات ممنتم ابتدا با محاسبه میدان سرعت مجازی، معادله مربوط به فشار حل شده و مقادیر میدان فشار بدست آمده در حل معادلات ممنتم لحاظ می‌گردد.

متد SIMPLEC

متد (Semi-Imlicit Method for Pressure Linked Equations-Consisi (SIMPLEC در سال 1984 و توسط ون سورمال (Van Soormaal) و رایتبی (Rightby) توسعه یافته است. تفاوت این متد با SILMPLE در ساده سازی رابطه تصحیح سرعت و فشار خلاصه می‌شود. در این الگوریتم اثر تصحیحی سرعت المان‌های مجاور حذف نمی‌گردد بلکه مقادیر آن‌ها در تصحیح فشار المان‌ها به کار گرفته می‌شود.

فلوچارت الگوریتم SIMPLEC

متخصصان بر این باورند که علی رغم اینکه در روش SIMPLEC بر خلاف روش SIMPLER معادلات اضافی بیشتری حل نمی‌کند اما در بیشتر مسائل از نرخ همگرایی 20 تا 30 درصد بالاتری نسبت به روش SIMPLE برخوردار است و البته از نسبت هزینه بر تکرار تقریبا برابری برخوردار است. اما به هر حال هر دو روش SIMPLEC و SIMPLE از پیشبنی مناسب سرعت جریان -در صورت عدم حدس اولیه مناسب برای میدان فشار- عاجز هستند.

متد PISO

الگوریتم Pressure-Implicit with Splitting of Operators یا همان PISO توسط ایسا (Issa) در سال 1986 ارائه گردید که در واقع فرم توسعه یافته‌ای از الگوریتم SIMPLE می‌باشد. این متد که اساسا برای محاسبه غیر-تکرار (Non-Iterative) جریان‌های تراکم‌پذیر ناپایا توسعه یافت بطور موفقیت آمیزی برای حل جریان‌های پایا نیز تطبیق داده شده است. الگوریتم PISO متشکل از
یک گام پیش‌بینی (Predictor Step) برای حدس مقدار میدان فشار و بدست اوردن مقادیر سرعت برای حل معادلات ممنتم و همچنین دو گام تصحیح (Corrector Steps) به نام‌های Nighber Correction (NC) و (Skewness Correction (SC برای تصحیح شار جرمی، فشار و سرعت می‌باشد.

ایده اصلی NC ایجاد یک حلقه داخلی ملقب به حلقه PISO در مرحله حل معادله تصحیح فشار در حلقه SIMPLE می‌باشد (شکل زیر). SC نیز برای تصحیح شار جرمی در دامنه‌‌های محاسباتی متشکل از المان‌های تابیده یا پیچ خورده (المان‌های با Skewness بالا) توسعه داده شده است.

اصولا الگوریتم PISO موجب پایداری مناسبی در حل میدان جریان ناپایا بوِژه برای گام‌های زمانی نسبتا بزرگ می‌شود و می‌توان مقدار ضریب خلاصی (Under-Relaxation Factor) را برای معادلات ممنتم و فشار برابر با یک قرار داد. به همین خاطر، استفاده از الگوریتم PISO همراه با NC به شدت برای جریان‌های گذرا توصیه می‌گردد بویژه اگر استفاده از گام زمانی بالاتر مد نظر باشد. البته برای مسائلی نظیر حل میدان جریان آشفته با استفاده از روش LES که ذاتا لازمست برای همگرایی بهتر گام زمانی کوچک باشد، استفاده از این الگوریتم خیلی مقرون به صرفه نمی‌باشد و پیشنهاد می‌گردد از همان الگوریتم‌های خانواده SIMPLE استفاده نمود. لازم به توضیح است که برای جریان‌های پایا الگوریتم PISO همراه با NC مزیت برجسته‌ای نسبت به الگوریتم‌های خانواده SIMPLE ندارد.

نرم افزار Fluent و حلگرهای فشار مبنا (pressure Based Solvers)

نرم افزار Fluent توانایی حل مسائل تراکم ناپذیر و تراکم‌پذیر با استفاده از روش‌های فشار مبنا را دارد. الگوریتم‌های SIMPLEٍ، SIMPLEC و PISO که از روش‌های حل مجزا (Segregated) معادلات می‌باشند و همچنین الگوریتم Coupled برای حلگر کوپل شده در این نرم‌افزار قابل استفاده است. توجه داشته باشید که در الگوریتم کوپل شده (Coupled) می‌توان معادلات را با دو متد صریح (Explicit) و ضمنی (Implicit) حل نمود در حالیکه در الگوریتم مجزا (Segregated) تنها می‌توان از متد ضمنی استفاده نمود. در کنار استفاده از الگوریتم‌های روش‌های حل معادلات حاکم بر جریان، بحث روش‌های گسسته‌سازی معادلات فشار، ممنتم، انرژی و غیره نیز مطرح می‌باشد که در نرم افزار Fluent گزینه‌های متعددی برای بکارگیری روش‌های گسسته سازی متنوعی در دسترس می‌باشد.

خلاصه ساختار حلگر فشار مبنا در نرم افزار Fluent.

نرم افزار CFX و حلگرهای فشار مبنا (pressure Based Solvers)

برخلاف نرم افزار Fluent، نرم افزار CFX از یک حلگر کاملا کوپل شده (Coupled) فشار مبنا استفاده می‌کند و فاقد الگوریتم مجزا (Segregated) می‌باشد بنابراین استفاده از الگوریتم‌های مرتبط مثل SIMPLEٍ، SIMPLEC و PISO که از روش‌های حل مجزا (Segregated) معادلات می‌باشند، در این نرم افزار مفهومی ندارد. در ضمن این نرم افزار تنها از متد Implicit برای حل معادلات استفاده می‌کند.

روش‌های چگالی مبنا

در روش‌های چگالی مبنا در هر تکرار معادلات حاکم برجریان شامل پیوستگی، ممنتم، انرژی و گونه‌های شیمیایی بطور همزمان حل شده و پس از حل آن‌ها، معادلات حاکم بر سایر اسکالرها بصورت متوالی و پشت سر هم حل می‌شوند (شکل زیر).

اساس روش چگالی مبنا، تجزیه بردار شار می‌باشد و Roe-Van Leer، AUSM و +AUSM مهمترین فرمولاسیون‌های تجزیه بردار شار در روش‌های چگالی مبنا هستند. برای کسب اطلاعات بیشتر راجع به این فرمولاسیون‌ها می‌توانید به مقاله تدوین شده توسط مجتبی طحانی، محمد صالحی فر، آرش درتومیان، نیلوفر رفیعی و محمد حججی با عنوان “بررسی روش‌های مختلف حل معادلات اویلر به روش چگالی مبنا در جریان‌ گذر صوت و مافوق صوت” (اینجا) مراجعه نمایید. الگوریتم‌های چگالی مبنا به هر دو روش صریح (Explicit) و ضمنی (Implicit) قابل حصول هستند.

نرم افزارهای Fluent و CFX و حلگرهای چگالی مبنا

روش‌های Roe و AUSM در نرم افزار Fluent در دسترس هستند. اما نرم افزار CFX از روش‌های چگالی مبنا برای حل مسئله استفاده نمی‌کند.