هموار سازی شبکه فنر پایه

Spring-Based Smoothing

در هموار سازی شبکه فنر پایه، لبه/وجه بین هر دو گره مش (شبکه) به عنوان شبکه‌ای از فنرهای متصل به هم فرض می شود به طوری که طول یا اندازه آن‌ها در حالت ایده‌آل تعادلی باشد (شاهد تغییرات حداقلی در مساحت یا حجم المان‌های همسایه باشیم). فواصل اولیه‌ لبه‌ها قبل از هر حرکت مرزی حالت تعادل مش را تشکیل می دهد. یک جابجایی در یک گره مرزی معین نیرویی متناسب با جابجایی در امتداد تمام فنرهای متصل به گره ایجاد می کند. با استفاده از قانون هوک، نیروی وارد بر گره مش را می توان به صورت معادله (14) نوشته می‎‌شود.

در معادله (14) n_i تعداد نودهای همسایه و متصل به گره i است. K_ij نیز ثابت فنر (یا همان سختی فنر) بین گره‌های i و j می‌باشد و بصورت رابطه (15) تعریف می‌شود. در معادله (15) پارامتر k_fac را باید به عنوان یک متغیر ورودی تعریف نمایید. در نرم افزار Fluent این پارامتر توسط کاربر و در فرم Mesh Smoothing Parameters مرتبط با گزینه Spring/Laplace/Boundary Layer تعریف می‌شود (شکل-1).

شکل-1: فرم تنظیمات پارامترهای هموارسازی شبکه مبتنی بر فنر.

در حالت تعادل لازمست برآیند نیرو‌های وارد بر گره i از تمامی فنرهای متصل به آن صفر باشد. اعمال این شرط معادله (16) را نتیجه می‌دهد که به صورت تکرار (سعی و خطا) حل می‌شود. m در معادله (16) شماره تکرار می‌باشد. از آنجایی که جابجایی‌ها در مرزها مشخص است (پس از به روز رسانی موقعیت گره‌های مرزی)، معادله (16) با استفاده از جابجایی ژاکوبی برای تمام گره‌های داخلی حل می‌شود. پس از همگرایی موقعیت‌های گره‌ها طبق رابطه (17) به روز رسانی می‌شوند. توجه داشته باشید که در این معادله n+1 و n به ترتیب بیانگر گام‌های زمانی بعدی و فعلی هستند.

شما می‌توانید مثالی از روش هموارسازی فنر-پایه را در شکل (2) مشاهده کنید.

شکل-2: بهره گیری از شبکه دینامیکی با هموار سازی فنر-پایه.

شما می توانید سختی فنر را با تنظیم مقدار پارامتر ثابت فنر (Spring Constant Factor) بین 0 و 1 کنترل کنید. مقدار صفر نشان می دهد که هیچ میرایی روی فنرها وجود ندارد و جابجایی گره‌های مرزی حداکثر تأثیر را بر حرکت گره‌های داخلی دارد. مقدار 1 (که مقدار پیش‌فرض نرم افزار Fluent هم می‌باشد) میرایی را بر جابجایی‌های گره‌های داخلی تحمیل می‌کند که از طریق حل معادله (16) به دست می‌آید.

اثر ضریب ثابت (سختی) فنر در شکل‌های (3) و (4) نشان داده شده است: اگر مقدار این پارامتر 1 باشد آنگاه گره‌های داخلی فراتر از مرز گسترش می یابند (شکل-3). در صورتیکه با تعیین مقدار صفر برای ثابت فنر گره های داخلی در داخل مرز باقی می‌مانند (شکل-4). در این دو شکل شبکه دینامیکی فنر پایه را در لبه انتهایی یک ایرفویل NACA0012 را پس از چرخش 2.3 درجه در خلاف جهت عقربه‌های ساعت نشان می‌دهد. این مش با استفاده از هموار سازی مبتنی بر فنر اما محدود به 20 تکرار تولید شده است.

شکل-3: تغییر شکل المان‌های مش دینامیکی با هموار سازی فنر پایه (ثابت فنر=1)

شکل-4: تغییر شکل المان‌های مش دینامیکی با هموار سازی فنر پایه (ثابت فنر=0)

در نرم افزار Ansys Fluent با استفاده از تعیین مقادیر تلورانس همگرایی (Convergence Tolerance) و حداکثر تعداد تکرار (Maximum Number of Iterations) که در شکل (1) نشان داده شده است شما می‌توانید روی حل معادله (16) کنترل داشته باشید. در واقع با ارضاء یکی از مقادیر دو پارامتر فوق حل معادله (16) تکمیل می‌شود. معیار تلورانس همگرایی در رابطه (18) تعریف شده است.

در معادله (18) متوسط RMS جابجایی گره‌های داخلی و تغییر شکل شبکه در اولین تکرار است.

کاربردهای روش هموار سازی شبکه فنر پایه (Spring-Based Smoothing Method)

از روش هموارسازی مبتنی بر فنر می‌توانید برای به‌روزرسانی سلول‌ها یا وجه‌ها که مرز آن در حال حرکت یا تغییر شکل می‌باشد استفاده کنید. برای نواحی متشکل از المان‌های غیر چهار وجهی (غیر مثلثی در 2 بعدی)، روش فنر-پایه را می‌توان در زمانی که شرایط زیر برآورده می‌شود استفاده کرد:

مرز ناحیه سلولی عمدتاً در یک جهت حرکت می کند (یعنی بدون کشش ناهمسانگرد یا فشرده سازی بیش از حد ناحیه سلولی).
حرکت اغلب عمود بر ناحیه مرزی باشد.

اگر شرایط فوق برآورده نشود، احتمالا شاهد تولید سلول‌های دارای مقادیر چولگی (Skewness) بالایی خواهیم بود، چراکه همه ترکیبات ممکن از جفت گره ها در سلول های غیر چهار وجهی (یا غیر مثلثی در 2 بعدی) به عنوان فنر ایده آل نیستند. سلول های چند وجهی به خصوص با هموارسازی مبتنی بر فنر (بدون توجه به اینکه آیا شرایط قبلی برآورده شده است) بسیار کج می شوند. در چنین شرایطی عموما پیشنهاد می‌شود که از روش هموارسازی مبتنی بر انتشار (Diffusion Based Smoothing) برای المان‌های چند وجهی استفاده کنید. همچنین بر خلاف روش هموارسازی تابع پایه شعاعی (Radial Basis Function Smoothing)، در مناطقی که هموارسازی شامل مرزهای تناوبی منسجم تغییر شکل‌دهنده باشد روش هموارسازی مبتنی بر فنر پشتیبانی نمی‌شود.