مدلسازی آشفتگی با استفاده از روش‌های LES

مدلسازی آشفتگی با استفاده از روش‌های شبیه‌سازی گردابه‌های بزرگ (LES)

Turbulence Modeling Using Large Eddy Simulation (LES) Methods

جریان آشفته بوسیله گردابه‌هایی با طیف وسیعی از مقیاس‌های زمانی/طولی (Length/Time Scales) تعریف و توصیف می‌شود. عموما گردابه‌ها/مقیاس‌های بزرگ (Large Eddies/Scales) در مقایسه با اندازه طول مشخصه جریان متوسط (به عنوان مثال ضخامت لایه برشی یا قطر هیدرولیکی یک دستگاه) معرفی شده در حالیکه گردابه‎ها/مقیاس‌های کوچک (Small Eddies/Scales) مبین اتلاف انرژی جنبشی آشفتگی هستند. از تظر تئوری حل مستقیم تمام طیف‌های ابعادی جریان‌های آشفته با استفاده از روش شناخته شده Direct Numerical Simulation: DNS امکان‌پذیر است و نیازی به هیچ گونه مدلسازی اضافی دیگری در آن نیست. اما به هر صورت استفاده از DNS برای مسائل مهندسی درگیر با جریان‌های همراه با اعداد رینولدز بالا امکان پذیر نیست چراکه هزینه بکارگیری روش DNS برای شبیه‌سازی تمامی گردابه‌ها با ابعاد مختلف متناسب به توان سوم عدد رینولدز آشفته (Ret) می‌باشد و پر واضح است که برای رینولدزهای بالا این هزینه سرسام آور خواهد بود. در روش‌های LES گردابه‌های بزرگ بصورت مستقیم حل می‌شوند در حالیکه گردابه‌های کوچک با استفاده از مدلسازی بدست می‌آیند. در واقع LES روشی بین روش‌های RANS و DNS می‌باشد. بطور خلاصه اصول بنیادین توسعه روش LES عبارتند از:

• ممنتم، جرم، انرژی و سایر اسکالرهای پسیو (Passive) با استفاده از گردابه‌های بزرگ انتقال می‌یابند.
• گردابه‌های بزرگ به مسئله وابسته بوده (Problem-Dependent) و بوسیله هندسه و شرایط مرزی جریان حاکم دیکته می‌شوند.
• گردابه‌های کوچک وابستگی کمتری به هندسه دارند. بیشتر تمایل به ایزوتروپیک بودن داشته و به تبع آن عمومی‌تر هستند.
• شانس یافتن یک مدل آشفتگی کلی برای گردابه‌های کوچک بسیار بیشتر از یافتن مدل برای گردابه‌های بزرگ می‌باشد.

شبیه سازی تنها گردابه‌های بزرگ، استفاده از شبکه درشت‌تر و گام زمانی بزرگتر را در روش LES نسبت به روش DNS امکان‌پذیر می‌سازد. به هر حال LES همچنان بطور قابل ملاحظه‌ای نیازمند شبکه‌های ریزتر نسبت به شبکه‌های متداول مورد استفاده در مدل‌های RANS است.بعلاوه بکارگیری روش LES مستلزم حل میدان جریان در یک بازه زمانی مناسب برای رسیدن به پاسخ‌های مشخص می‌باشد. در نتیجه هزینه (از نقطه نظر زمان، حافظه و قدرت پردازش) محاسباتی تمام  شده برای روش‌های LES بطور قابل توجهی (Orders Of Magnitudes) بیشتر از روش‌های متناظر RANS پایا می‌باشد. بنابراین برخورداری از سیستم‌های پردازشگر سریع و پرقدرت HPC نظیر ابرکامپیوترها و سیستم‌های پردازش موازی در بکارگیری از روش‌های LES برای کاربردهای مهندسی نه تنها یک نیاز بلکه یک الزام است. نقطه ضعف اصلی روش‌های LES در الزامات شبیه سازی لایه‌های مرزی  با دقت بالا می‌باشد. چراکه در نزدیکی دیواره حتی گردابه‌های بزرگ هم به نسبت کوچک می‌شوند و نیازمند حل وابسته به عدد رینولدز (Reynolds Number Dependent Resolution) هستند. این مهم استفاده از روش‌های LES برای حل میدان جریان‌های محدود به دیواره (Wall Bounded Flows) را به اعداد رینولدز پایین (بین 10 هزار تا 100 هزار) و دامنه محاسباتی کوچک، محدود می‌کند. 

فرمولاسیون روش‌های LES

همانطور که گفته شد در روش‌های LES مقیاس‌های بزرگ بصورت مستقیم و شبیه روش DNS شبیه سازی می‌شوند در حالیکه مقیاس‌های کوچک را باید همانند روش‌های RANS مدلسازی نمود. اینکار با تعریف یک تابع فیلتر کننده انجام می‌گردد. این تابع فیلتر کننده براساس ابعاد شبکه تعریف می‌شود. بدیهی است هر چقدر تابع فیلتر کننده تعریف شده برای مقیاس کوچکتر (ابعاد کوچکتر شبکه) تنظیم شده باشد چربش LES به سمت DNS بیشتر خواهد بود و برعکس هر چقدر برای مقیاس بزرگتر تنظیم شده باشد رفتار LES به RANS شبیه‌تر خواهد بود. در واقع در شبیه سازی جریان‌های آشفته به روش‌های LES ابتدا لازمست معادلات حاکم بر جریان فیلتر شوند. حاصل این فیلترینگ، معادلات ناویراستوکس فیلتر شده و تانسور تنش مقیاس زیر شبکه (Sub-Grid Scale) می‌باشد که اولی بصورت مستقیم و دومی با مدلسازی محاسبه می‌شوند. بطور کلی در فرمولاسیون LES،  معادلات فیلتر شده ناویر استوکس، مدل‌های زیر شبکه و معادلات آشفتگی تصادفی در شرایط مرزی ورودی، سه دسته معادلات جداگانه‌ای هستند که باید حل شوند. هدف از ایجاد این پست بیان تئوری و ملاحظات مربوط به استخراج و حل این معادلات است.

معادلات ناویر استوکس فیلتر شده

معادلات حاکم بر مدل‌های LES براساس فیلترینگ معادلات ناپایای (وابسته به زمان) ناویراستوکس در فضای فوریه ( عدد موج: Wave-Number) و یا فضای پیکره فیزیکی (Physical) بدست می‌آید. فرآیند فیلترینگ در این معادلات، بطور مؤثری گردابه‌های کوچک‌تر از باند فیلتر (Δ) یا ابعاد شبکه هستند را فیلتر می‌کند. بنابراین، معادلات حاصله بر گردابه‌های بزرگ حاکم می‌شوند. فرم کلی فرمولاسیون معادلات ناویراستوکس فیلتر شده برای جریان‌های تراکم ناپذیر بصورت زیر می‌باشد:

درمعادلات فوق

• Φ: متغیر فیلتر شونده، 
• D: دامنه سیال
• G: تابع فیلترکننده (که تعیین کننده اندازه مقیاس بزرگ-گردابه‌های شبیه سازی شونده بصورت مستقیم- می‌باشد)،
• V: حجم المان محاسباتی،
• Τij: تنش مقیاس زیرشبکه (Subgrid Scale Stress)،
• σij: تانسور تنش فشاری ناشی از لزجت ملکولی، 
• hs: آنتالپی محسوس (Sensible Enthalpy)،
• λ: هدایت گرمایی،
• μSGS: لزجت زیر شبکه (Subgrid Viscosity) و 
• PrSGS=0.85 عدد پرانتل زیر شبکه می‌باشد.

نکته مهم در این معادلات محاسبه Τij می‌باشد. در واقع برای محاسبه این پارامتر از روش‌های متنوعی برای مدلسازی استفاده می‌شود که در ادامه این روش‌ها معرفی و تشریح می‌گردند. تانسور تنش Τij در مدل‌های آشفتگی LES تراکم‌پذیر نیز باید با استفاده از مدلسازی بدست آید. در جریان‌های تراکم پذیر متغیرها براساس معیار متوسط گیری جرمی فاور (Favre) فیلتر می‌شوند.  فرمولاسیون ناویراستوکس تراکم پذیر فیلتر شده بصورت زیر می‌باشد.

در روابط فوق، μ لزجت ملکولی و k هدایت گرمایی بوده و نسبت به معیارهای مختلف فیلترینگ حساس نیستند. Τijنیز به عنوان تانسور تنش زیرشبکه باید محاسبه شود. در واقع محاسبه این تنشها با استفاده از مدل‌های معروف به مدل‌های مقیاس زیرشبکه (Subgrid-Scale Models) انجام می‌شود که در ادامه تشریح شده‌اند.

مدل‌های مقیاس زیرشبکه (Subgrid-Scale Models)

تنش‌های مقیاس زیر شبکه (Subgrid-Scale Stresses) حاصل از فرآیند فیلترینگ، نامعلوم بوده و لازمست مدلسازی شوند. مدل‌های آشفتگی مقیاس زیرشبکه در نرم‌افزارهایی مانند Ansys Fluent، همانند مدل‌های RANS، از فرضیه بوزینسک برای محاسبه تنش‌های آشفته مقیاس زیر شبکه استفاده می‌کنند. بنابراین براساس فرضیه بوزینسک تانسور تنش زیرشبکه، Τij، برای جریان‌های تراکم‌ناپذیر و تراکم‌پذیر بصورت معادلات زیر بازنویسی می‌شوند:

در معادلات فوق

• Sij  ̅ تانسور نرخ کرنش،
• μt: لزجت آشفتگی مقیاس زیرشبکه،
• μsgs: لزجت زیرشبکه،
• Msgs: عدد ماخ زیرشبکه،
• qj: شار مقیاس زیرشبکه،
• hs: آنتالپی محسوس و
• Prsgs=0.85، عدد پرانتل زیر شبکه می‌باشد.

در هر دو رژیم جریان تراکم ناپذیر و تراکم‌پذیر ترم Τkk را می‌توان برای ساده‌سازی حذف کرده و یا اینکه آن را به متغیر فشار فیلتر شده اضافه نمود. البته رابطه‌ای برای Τkk بر حسب عدد ماخ زیرشبکه برای جریان‌های تراکم‌پذیر تعریف می‌شود که این رابطه در فرمولاسیون جریان تراکم‌پذیر در بالا نشان داده شده است. انتظار بر اینست زمانیکه ععد ماخ آشفته جریان کوچک باشد عدد ماخ زیرشبکه نیز کوچک شود. اما نکته مهم در روابط فوق وجود لزجت آشفتگی مقیاس زیرشبکه، μt، است که باید با استفاده از مدلسازی محاسبه شود. مدل‌های اسماگورینسکی-لایلی (Smagorinsky-Lilly)، اسماگورینسکی-لایلی دینامیکی (dynamic Smagorinsky-Lilly)، مدل WALE و مدل انرژی جنبشی مقیاس زیرشبکه دینامیکی (dynamic kinetic energy subgrid-scale) از معروف‌ترین مدل‌های محاسبه کننده μt هستند که در نرم افزار Ansys Fluent نیز از آن‌ها استفاده می‌شود. در ادامه این مدل‌ها بطور مفصل توضیح داده شده‌اند. 

مدل‌ اسماگورینسکی-لایلی (Smagorinsky-Lilly)

این مدل ساده ابتدا توسط اسماگورینسکی پیشنهاد گردید. اما عموما فرم نهایی آن با عنوان مدل اسماگورینسکی-لایلی برای محاسبه μt بکار گرفته می‌شود. 

در روابط فوق

• Ls: اندازه طول اختلاط (Mixing Length) برای مقیاس زیر شبکه،
• k: ثابت ون کارمن
• d: فاصله تا نزدیکترین دیواره
• Cs: ثابت اسماگورینسکی و
• Δ: ابعاد شبکه محلی می‌باشد. 

لایلی مقدار Cs=0.23 را برای آشفتگی ایزوتروپیک همگن در زیربرد (Subrange) اینرسیایی (Inertial) پیشنهاد کرد. به هر صورت این مقدار باعث میرایی بیش از حد نواسانات مقیاس بزرگ با وجود برش متوسط و در جریان‌های گذرای نزدیک مرز جامد شده و لازمست در چنین مناطقی کاهش یابد. خلاصه اینکه Cs ثابت کلی نبوده و این موضوع مهمترین نقطه ضعف مدل مذکور است. بطور کلی مقدار 0.1 برای Cs را می‌توان بهترین مقدار در نظر گرفته برای آن برشمرد که برای طیف وسیعی از جریان‌ها مناسب است. لازم به ذکر است که این مقدار، پیش فرض نرم افزار Fluent نیز می‌باشد.

مدل‌ اسماگورینسکی-لایلی دینامیک (Dynamic Smagorinsky-Lilly)

جرمانو و همکاران (Germano et al) و متعاقبا لایلی فرآیندی را پیشنهاد کردند که در آن براساس اطلاعات حل میدان جریان و مشخصات مقیاس، ثابت مدل اسماگورینسکی، Cs، بصورت دینامکی محاسبه می‌شود. بنابراین در این روش دیگر به تعیین مقدار مشخص برای Cs نیازی نیست. در واقع مفهوم فرآیند دینامیکی، بکارگیری یک فیلتر ثانویه معروف به فیلتر تست (Test Filter) برای معادلات حرکت است. پهنای فیلتر جدید، Δˆ، دو برابر عرض فیلتر شبکه، Δ، می‌باشد. هر دو فیلتر یک میدان جریان حل شده ایجاد می‌کنند لکن میدان‌های جریان حل شده توسط این دو فیلتر، در سهم مقیاس‌های کوچک سایز شده با یکدیگر متفاوت هستند. اطلاعات مرتبط با این مقیاس‌ها برای محاسبه ثابت مدل بکار گرفته می‌شود. فرمولاسیون چگالی متغیر مدل مذکور در نرم افزار Fluent طبق توضیخات زیر استخراج شده است.

هر دو تانسور تنش زیرشبکه براساس فیلترهای شبکه و تست به روش مشابه مدل اسماگورینسکی-لایلی بدست می‌آیند. Lij با حل میدان گردابه‌های بزرگ قابل محاسبه است. ضریب C در هر دو رابطه تانسور تنش یکسان، مستقل از فرآیند فیلترینگ و بصورت C=Cs^2 تعریف می‌شود. بنابراین Cs=√C بدست آمده از مدل دینامیکی اسماگورینسکی لایلی نسبت به زمان و مکان دامنه محاسباتی متغیر است. البته لازم است در ابتدای محاسبات مقدار پیش‌فرضی برای Cs در نظر گرفت که در نرم افزار Fluent این مقدار 0 یا 0.23 می‌باشد. 

 مدل Wall-Adapting Local Eddy-Viscosity: WALE

درمدل WALE لزجت آشفتگی بصورت زیر محاسبه می‌شود:

در روابط فوق، Cw=0.5 می‌باشد. با این حال طی فعالیت‌های تحقیقاتی فشرده و منسجم در طول یک پروژه تحقیقاتی در اتحادیه اروپا که توسعه دهندگان مدل اصلی نیز جزء تیم پروژه بودند مقدار بهینه 0.325 برای Cw بدست آمد که در حال حاضر جزء پیش‌ فرض نرم افزار Fluent نیز هم در نظر گرفته شده است. باقی نوشتار، ترم‌ها، اصلاحات و روابط همانند مدل اسماگورینسکی-لایلی می‌باشد که از پرداختن مجدد به آن‌ها خودداری شده است. بطور کلی مدل WALE می‌تواند رفتار نزدیک به دیواره را برای جریان‌های محدود به دیواره را بطور مناسبی شبیه سازی کند. مزیت دیگر مدل WALE اینست که در آن مقدار لزجت آشفتگی برای جریان‌های برشی آرام (Laminar Shear Flow) صفر می‌باشد. این مهم باعث صحیح رفتار جریان در نواحی آرام می‌شود. برعکس، مدل اسماگورینسکی-لایلی برای نواحی آرام، لزجت گردابه‌ای غیر صفر تولید کرده و جریان را کاملا آشفته در می‌بیند. با این توضیحات، مدل WALE نسبت به مدل اسماگورینسکی-لایلی در شبیه سازی لایه‌های مرزی آرام و آشفته، ارجحیت دارد. 

 

مدل Algebraic Wall-Modeled LES: WMLES

علی‌رغم کاربرد بسیار گسترده روش‌های LES در جامعه آکادمیک، استفاده از این مدل‌ها در دنیای مهندسی چندان جذاب نیست. دلیل این امر، الزامات مورد نیاز برای رسیدن به دقت مناسب در شبیه‌سازی لایه‌های مرزی می‌باشد. چراکه در نزدیکی دیواره، حتی بزرگترین مقیاس‌های طیف آشفتگی، از لحاظ هندسی بسیار کوچک بوده و بنابراین به شبکه بسیار ریز و گام زمانی بسیار کوچک نیاز دارند. بعلاوه بر خلاف روش‌های RANS تراکم شبکه تنها در جهت عمود بر دیواره کافی نبوده و لازمست شبکه در همه جهت‌های عمود و موازی بر دیواره ریز شود. در نتیجه این مهم تنها برای جریان‌های آشفته با اعداد رینولدز پایین و در ابعاد بسیار کوچک دستیافتنی است. برای درک بهتر، به عنوان مثال ابعاد دامنه محاسباتی نباید خیلی بزرگتر از ضخامت لایه مرزی باشد (حداکثر 100 برابر). به همین خاطر استفاده از LES برای جریان‌هایی که شرایط مرزی و پارامترهای محاسباتی وابسته به دیواره در آن‌ها خیلی مهم یا مورد نیاز نیست یا جریان‌هایی که لایه مرزی در آن‌ها بواسطه عدد رینولدز آرام است، پیشنهاد می‌گردد.

به هرصورت، تنها جریان‌های بسیار اندکی با چنین خصوصیاتی وجود دارند و در نتیجه استفاده از روش‌هایی غیر از LES مطلوب است. با این حال یک رویکرد امیدوار کننده برای پوشش محدودیت‌های عدد رینولدز در مدلسازی LES روش (Algebraic Wall-Modeled LES: WMLES) می‌باشد. در این روش، بخش RANS مدل تنها برای بخش داخلی ناحیه لگاریتمی فعال شده و سایر بخش‌های لایه مرزی با استفاده از فرمولاسیون LES اصلاح شده پوشش داده می‌شوند.

از آنجائیکه بخش داخلی لایه مرزی به عدد رینولدز وابسته است لذا در این روش با افزایش عدد رینولدز می‌توان شبکه را تغییر نداد. البته باید توجه داشت که برای لایه‌های مرزی از مقیاس عدد رینولدز بطور کامل صرف نظر نمی‌شود (همانند کاهش ضخامت لایه مرزی نسبت به ابعاد بدنه با افزایش عدد رینولدز). در واقع با افزایش عدد رینولدز لازمست فاصله کلی شبکه‌ها کاهش یابد و در نتیجه تعداد المان‌ها و همچنین تعداد نودهای شبکه بر واحد حجم افزایش می‌یابد.

گزینه جالب دیگر و احتمالا بهترین استفاده از WMLES زمانیست که این مدل این مدل با Embeded LES: ELES در نرم افزار Ansys Fluent  ترکیب شود.  مدل ELES ناحیه LES را به نواحی کوچکتر دامنه محاسباتی تقسیم کرده و مناطق بحرانی کمتری را با RANS پوشش می‌دهد. با این ترفند، عملکرد WMLES برای اعداد رینولدز بالا در دامنه LES توسعه می‌یابد.

فرمولاسیون مدل WMLES

فرمولاسیون اصلی Algebraic WMLES توسط شر و همکاران (Shur) پیشنهاد شد. بعدها این فرمولاسیون با مدل طول مختلط همراه با مدل اصلاح شده اسماگورینسکی و تابع میرایی دیواره (Wall Damping) پیوملی (Piomelli) ترکیب شد. در مدل شر لزجت سینماتیکی آشفتگی، νt، با استفاده از مقیاس طول ترکیبی (Hybrid Length Scale) و بصورت زیر محاسبه می‌شود.

که dw فاصله از دیواره، S نرخ کرنش و +Y فاصله عمود بر دیواره می‌باشد. این مدل LES براساس یک مقیاس شبکه اصلاح شده برای غیر یکنواختی شبکه (Grid Anisotropic) در جریان‌های محدود به دیواره بنا شده است. در رابطه فیلتر شبکه، hmax بزرگترین طول لبه برای یک المان شش وجهی مکعب مستطیل (برای سایر انواع المان‌ها نیز از مفهومی مشابه استفاده می‌شود) و hwn فاصله شبکه عمود بر دیواره می‌باشد. در واقع فرمولاسیون فوق صرفا برای استفاده در Ansys ّFluent بهینه سازی شده است که البته روح مدل اصلی شر و همکاران در این مدل باقیمانده است!

مقیاس عدد رینولدز

مزیت اصلی مدل WMLES در کاهش تعداد شبکه و استقلال نسبی آن از عدد رینولدز می‌باشد. در حالت کلی الزامات مشخصات شبکه مناسب برای یک مدل کلاسیک LES و مدل WMLES در زیر نشان داده شده است:

در روابط فوق:

• Ny: تعداد المان در راستای ضخامت لایه مرزی،
• uτ: سرعت اصطکاکی دیواره (Wall Friction Velocity)،
• νt: لزجت سینماتیکی،
• Τw: تنش برشی دیواره و
• h: طول مرجع (h=H/2 برای کانال و H ارتفاع کانال) و (h=δ برای لایه مرزی که δ ضخامت لایه مرزی می‌باشد) تعریف شده‌اند.

به عنوان مثال تعداد شبکه‌های مورد نیاز برای یک کانال پریودیک (در جهت‌های اصلی و عرضی جریان) با ابعاد Lx=8h در جهت اصلی جریان، Ly=2h در جهت ضخامت لایه مرزی و Lz=3h در جهت عرض جریان با اعداد رینولدز مختلف در روش‌های کلاسیک LES و WMLES در جدول‌های زیر نشان داده شده است:

مقایسه نتایج مقایسه شده در بالا بسیار شگفت‌انگیز و در عین حال امیدوار کننده است. اختلاف تعداد شبکه و همچنین زمان CPU مورد نیاز با نسبت توان‌های 2و 3 نسبت به افزایش اعداد رینولدز ( به اعداد رینولدز ده هزار و صد هزار توجه شود) کاملا مشهود است. بنابراین می‌توان اینگونه نتیجه گیری نمود که تعداد شبکه در روش WMLES مستقل از عدد رینولدز و بسیار کمتر از روش LES کلاسیک است. 

با این حال این تعداد شبکه های مورد نیاز در این روش همچنان بطور چشمگیری بیشتر از روش‌های RANS بوده و این مشکل کم نیست. به عنوان مثال برای شبیه سازی جریان در لایه مرزی با استفده از WMLES لازمست برای پوشش حجم لایه مرزی (δy, δx و δz) طبق رابطه نشان داده شده در بالا حداقل به (10*(30-40)*20) المان در جهت‌های اصلی، عمود و عرضی جریان مورد نیاز است در حالیکه در روش RANS این مقدار به (1*(30-40)*1) المان کاهش پیدا می‌کند. بعلاوه با استفاده از روش RANS می‌توان جریان را پایا حل کرد در صورتیکه این امکان در هنگام استفاده از روش WMLES وجود ندارد و لازمست بصورت ناپایا و با CFL~0.3 برای گام زمانی حل شود. 

فرمولاسیون مدل جبری WMLES S-Omega

یکی از ویژگی‌های روش WMLES آنست که این مدل قادر به تولید لزجت گردابه‌ای صفر برای جریان‌های همراه با تنش برشی ثابت نیست. به همین خاطر مول مذکور توانایی شبیه سازی و لحاظ نمودن اثرات جریان گذرا را ندارد و عموما قادر به شبیه سازی لزجت‌های گردابه‌ای مقیاس‌های بزرگ در لایه‌های برشی جدا شونده شبیه جریان عبوری از پشت پله (Back-Step Flow) می‌باشد. البته محاسبه بخش LES در مدل WMLES با استفاده از تفاوت قدرمطلق (S-Ω) به جای S که S نرخ کرنش و Ω اندازه ورتیسیته می‌باشد می‌توان توانایی مدل WMLES را در رفع حل این مشکل بهبود بخشید. این ترفند با عنوان فرمولاسیون مدل WMLES S-Omega شناخته می‌شود.

مدل انرژی جنبشی مقیاس زیرشبکه دینامیکی (Dynamic Kinetic Energy Subgrid-Scale)

مدل‌های اصلی و دینامیکی اسماگورینسکی-لایلی، اساسا مدل‌های جبری هستند که در آن تنش‌های مقیاس زیرشبکه بااستفاده از مقیاس‌های سرعت بصورت پارامتری تعریف می‌شوند. فرض اساسی در این مدل‌ها، تعادل محلی (Local Equilibrium) بین انرژی منتقل شده از طریق مقیاس فیلتر شبکه و اتلاف انرژی جنبشی در مقیاس‌های زیر شبکه‌ی کوچک می‌باشد. آشفتگی مقیاس زیرشبکه می‌تواند با محاسبه دقیق‌تر انرژی جنبشی آشفتگی زیرشبکه بهتر مدل شود. این کار در نرم‌افزار Fluent با استفاده از مدل انرژی جنبشی مقیاس زیرشبکه دینامیکی (Dynamic Kinetic Energy Subgrid-Scale) پیشنهادی کیم (Kim) و منون (Menon) انجام می‌شود. فرمولاسیون مدل مذکور بصورت زیر تعریف شده است:

در روابط فوق Δf اندازه فیلتر (Filter-Size) می‌باشد. ثابت‌های Ck و Cε بصورت دینامیکی محاسبه شده و σk نیز بصورت سفت و سختی 1 درنظر گرفته می‌شود.

شرایط مرزی ورودی برای مدل‌های LES

یکی  از مشخصه مدل‌های LES آنست که ذاتا باید وابسته به زمان حل شوند. از این رو در تعریف شرایط مرزی ورودی لازمست که جریان‌ در ورودی با نوسانات سرعت همراه باشد مگر اینکه سطح یا شدت آشفتگی در مرز‌های ورودی ناچیز بوده یا اینکه نقش عمده‌ای در حل میدان جریان نداشته باشند که در این حالت مؤلفه‌های سرعت لحظه‌ای همانند مؤلفه‌های سرعت میانگین در نظر گرفته می‌شوند. الگوریتم‌های متعددی برای تعریف نوسانات سرعت در مرز ورودی وجود دارد که در این قسمت به مهمترین الگوریتم‌هایی که در نرم افزار Fluent وجود دارد پرداخته شده است.  البته در همین نرم افزار اگر گزینه No Perturbation فعال شود آنگاه از مؤلفه‌های تصادفی جریان در شرایط مرزی سرعت ورودی صرف نظر می‌شود. 

روش ورتکس (Vortex Method: VM)

برای تولید داده‌های شرایط مرزی ورودی وابسته به زمان، روش ورتکس دو بعدی تصادفی در نظر گرفته شده است. در این ترفند، یک نوع میدان نوسان تصادفی (میدان نوسان دوبعدی در صفحه عمود بر جهت جریان) به پروفایل سرعت میانگین ورودی اضافه می‌شود. روش ورتکس براساس فرم لاگرانژی معادله حالت دو بعدی ورتیسیته و قانون بیوساوارت (Biot-Savart) بنا نهاده شده است. برای اینکار از گسسته سازی ذرات استفاده شده که ذرات یا نقاط ورتکس بصورت تصادفی جابجا شده و اطلاعات میدان ورتیسیته را تأمین می‌کنند. اگر N تعداد نقاط ورتکس و A سطح مقطع مرز ورودی باشد، مقدار ورتیسیته تولید شده براساس ذره i بصورت Γi معرفی شده و یک جهت ویژه مفروض η بصورت زیر تعریف می‌شوند:

که K، انرژی جنبشی آشفتگی، σ کنترل کننده اندازه ذره ورتکس و بردار Z نیز بردار یکه در جهت جریان است. اصالتا اندازه ورتکس بوسیله مقدار متعاورفی از k ثابت می‌شود. برای اینکه متد ورتکس کاربرد عمومی داشته باشد، یک اندازه مشخص برای ورتکس محلی در بین تئوری طول اختلاط آشفته تعیین می‌گردد. σ از یک پروفایل معلوم از میانگین انرژی جنبشی آشفتگی و نرخ اتلاف در ورودی محاسبه شده که در رابطه نشان داده شده برای آن c=0.16 در نظر گرفته می‌شود. برای اطمینان از اینکه ورتکس همیشه به در اندازه مقیاس‌های بزرگ جریان باشد، حداقل مقدار σ در رابطه فوق بوسیله ابعاد شبکه محلی محدود می‌شود.

از طرفی جهت گردش (Circulation) هر ورتکس نیز بطور تصادفی در هر مقیاس زمانی، τ، تغییر می‌کند. در کاربرد کلی روش ورتکس، این گام زمانی مبین زمان مناسب برای یک ورتکس دوبعدی جابجا شده توسط سرعت جریان غالب در مرز عمود بر جهت حرکت جریان در امتداد nام زمان مشخصه‌های میانگین اندازه دوبعدی σm می‌باشد. جائیکه n برابر 100 و براساس تست‌های عددی در نظر گرفته شده است. روش ورتکس تنها برای نوسانات سرعت در صفحه عمود بر جهت جریان لحاظ می‌گردد. به هر صورت در نرم افزار Ansys Fluent از یک مدل سینماتیک خطی ساده شده Linear Kinematic Model: LKM برای نوسانات همراستا با جهت جریان استفاده می‌شود. در واقع این مدل از یک مدل خطی که تأثیر ورتکس دوبعدی در میدان سرعت متوسط همراستا با جهت جریان را شبیه سازی می‌کند، مشتق شده است. اگر سرعت متوسط در جهت جریان U به عنوان یک اسکالر غیرفعال (Passive) باشد، نوسانات ‘u از انتقال U بوسیله میدان سرعت نوسانی صفحه ‘v بصورت رابطه نشان داده شده در بالا مدل می‌شود. که بردار g بردار یکه با گردایان‌های سرعت متوسط بردار U∇ می‌باشد.

اگر گرادیان‌های سرعت متوسط صفر باشد می‌توان از نوسانات تصادفی بجای آن استفاده کرد. از آنجائیکه نوسانات بطور مساوی در امتداد مؤلفه‌های سرعت توزیع می‌شوند، تنها  پروفایل انرژی جنبشی می‌تواند در ورودی دامنه محاسباتی درست برآورد شود. در پایین دست دورتر جریان توزیع صحیح نوسانات براساس روابط مناسبی بدست می‌آیدو به هرصورت اگر توزیع نوسانات ترم معلوم یا قابل پیش بینی در ورودی باشد، یک تکنیک مقیاس مجدد می‌تواند برای میدان جریان مصنوعی (Synthetic) به منظور واقعیت دادن به نوسانات نرمال <uu>، <vv> و <ww> در مرز ورودی بکار گرفته شود.با فرآیند مقیاس مجدد نوسانات سرعت بصورت زیر بیان می‌شود:

نکته مهم اینکه با توجه به اینکه تئوری روش ورتکس براساس تصحیح میدان سرعت عمود بر راستای جهت جریان می‌باشد، لذا ضروریست صفحه مرزی ورودی عمود (یا تا حد امکان عمود) بر سرعت جهت جریان باشد. مشکل زمانی حاد می‌شود که سرعت جابجایی از مرتبه یا کوچکتر از k^0.5 می‌شود چراکه خروجی موضعی (Local)جریان را در پی خواهد داشت. به همین دلیل باید برای Tu~1 یا کوچکتر بکار گرفته شود.

روش ورتکس برای تمامی مرزهای ورودی حتی در نواحی که سطح آشفتگی ورودی کم باشد (جریان آزاد) قابل استفاده است. به دلایل افزایش راندمان به هر صورت توصیه می‌شود که دامنه VM را به نواحی که می‌توان در آن آشفتگی ناپایدار تولید کرد محدود نمود. به عنوان مثال فرض کنید یک لایه اختلاط نازک از میان یک مرز ورودی بسیار بزرگتر وارد می‌شود در این حالت توصیه می‌شود مرز ورودی به سه ناحیه تقسیم شود. یکی زیر لایه اختلاط با سرعت ورودی ثابت، دومی برای لایه اختلاط ورودی با روش ورتکس (VM) و سومی بالای ناحیه اختلاط و با سرعت ورودی ثابت. بنابراین ورتکس‌ها در ناحیه دلخواه متمرکز می‌شوند. از طرف دیگر تعداد بسیار زیادی ورتکس باید تولید شود تا مطمئن شد که تعداد کافی از آن‌ها درناحیه اختلاط قرار می‌گیرند.

روش سنتزایزر طیفی (Spectral Synthesizer)

روش سنتزایزر طیفی از یک روش جایگزین برای تولید نوسانات مؤلفه‌های سرعت استفاده می‌کند. این روش براساس تولید جریان تصادفی که در اصل توسط کاریچنان (Karichnan) پیشنهاد شده، می‌باشد و توسط اسمیرنوف و همکاران (Smirnov et al) بهبود یافته است. در این روش مؤلفه‌های سرعت نوسانی براساس سنتزایزینگ یا ترکیب یک میدان بردار سرعت واگرایی آزاد (Divergence-Free) از مجموع هارمونی فوریه محاسبه می‌شود. در نرم افزار Fluent تعداد این هارمونیک‌ها ثابت و برابر 100 است.

نکات مهم

باید توجه داشت که هر دو روش ورتکس و سنتزایزر طیفی برای شرایط مرزی سرعت و فشار ورودی در نرم افزار Fluent قابل دسترس هستند. برای سرعت ورودی نوسانات به سرعت میانگین مشخص شده در ورودی اضافه می‌شوند. برای مرز‌های فشار ورودی، نیرو‌های حجمی مجازی به معادلات ممنتم اضافه می‌شوند تا نوسانات آشفته را برای میدان‌های سرعت بازسازی کنند. این نیروهای حجمی تنها در اولین المان‌های LES نزدیک به مرز ورودی لحاظ می‌شوند. 

هر دو روش فوق برای مدل‌های SBES، SDES، DES و SAS نیز در دسترس هستند. البته ممکن است ناپایی جریان داخل دامنه بسته به جریان و ابعاد شبکه پایدار شود بخصوص هنگامیکه از مدل‌های SAS یا DES برای جریان‌های محدود به دیواره استفاده می‌شود. کلام آخر اینکه هر دو روش به شرایط ورودی مناسبی برای k و ε نیاز دارند که می‌توانند با استفاده از روش‌های RANS محاسبه شوند. لازم به ذکر است پروفایل آشفته غیر واقعی (از جمله پروفایل صاف و یکنواخت) در ورودی موجب ایجاد گردابه‌های آشفته غیر واقعی در ورودی می‌شود. 

بازگشت

مطالب مرتبط

حل میدان‌های جریان‌های غیر لزج، آرام و آشفته با استفاده از نرم‌افزارهای CFD

مدلسازی آشفتگی با استفاده از روش‌های RANS

معرفی مدل آشفتگی تنش رینولدز (RSM)

مدل‌های آشفتگی ترکیبی SAS و DES

برای کسب اطلاعات بیشتر با ما تماس بگیرید

محمدرضا کلیچ