مبانی تئوری انتقال حرارت به روش هدایت و جابجایی

مبانی تئوری انتقال حرارت هدایت و جابجایی

Fundamentals of Conduction and Convection Heat Transfer

جریان انرژی گرمایی از یک نقطه به نقطه دیگر را انتقال حرارت می‌گویند. انتقال حرارت می‌تواند به سه صورت هدایت (Conduction)، جابجایی (Convection) و تشعشعی یا همان تابشی (Radiation) اتفاق بیافتد. مدل‌های انتقال حرارت هدایت و جابجایی به مراتب ساده‌تر از جریان‌های بویانسی (جابجایی آزاد) و مدل‌های تابشی (تشعشعی) هستند. بسته به نوع مسئله از معادلات انرژی متفاوتی برای شبیه سازی انتقال حرارت می‌توان استفاده نمود. از طرفی منابع مختلفی برای تولید گرما در جریان‌های گوناگون وجود دارند که در صورت لزوم به ترم‌(های) منبع (Source Terms) معادله انرژی اضافه خواهند شد. مهمترین منابع تولید انرژی در جریان‌های سیال عبارتند از:

ترم‌های انرژی جنبشی و کار ترمودینامیکی
مؤلفه ترم‌ اتلاف لزج (Viscous Dissipation Terms)
ترم‌های انتشار گونه‌های شیمیایی
منابع انرژی ناشی از واکنش
منابع گرمایی ناشی از تابش (تشعشع)
منبع انرژی ناشی از گرمایش ژول
منابع انرژی بین فازی

در این نوشتار قصد داریم تا تئوری‌ها و روابط حاکم بر حالت‌های مختلف انتقال حرارت را تشریح نماییم.

تئوری انتقال حرارت به روش‌های هدایت و جابجایی

با استفاده از CFD می‌توان انتقال حرارت را در نواحی جامد و سیال شبیه سازی نمود. در نرم‌افزارهایی مثل Fluent امکان تحلیل حرارتی سیالات و جامدات بصورت مجزا و یا کوپل شده با یکدیگر وجود دارد. شبیه سازی انتقال حرارت در جامدات تنها جایی است که مشخصات مواد جامد اعم از جنس و ضریب هدایت گرمایی در محاسبات CFD مورد نیاز است. به هر حال شبیه سازی انتقال حرارت با حل فرم‌های مختلفی از معادلات انرژی برای رژیم‌های مختلف جریان صورت می‌گیرد.

معادله انرژی

فرم کلی معادله انرژی مورد استفاده در نرم افزارهایی مانند Fluent بصورت معادله (1) است. در این معادله K_eff ضریب هدایت مؤثر (K+K_t) که K_t ضریب هدایت حرارتی آشفته براساس مدل آشفتگی مورد استفاده می‌باشد.) و J_j هم شار انتشار گونه‌های شیمیایی هستند. اولین ترم سمت راست معادله (1) بر انتقال انرژی ناشی از هدایت، انتشار گونه‌های شیمیایی و اتلاف لزج دلالت دارد. S_h شامل منابع انرژی حجمی توسط کاربر بجز منابع گرمایی تولید شده ناشی از واکنش‌های حجمی و سطحی می‌باشد. چگونگی محاسبه این منابع گرمایی در معادله (8) نشان داده شده است.

مقدار در نظر گرفته شده برای T_ref در محاسبه آنتالپی محسوس (h) به حلگر و مدل مورد استفاده بستگی دارد. برای حلگرهای فشار مبنا، T_ref=298.5K (بجز برای مدل‌های PDF که در آن T_ref به عنوان ورودی گونه‌های شیمیایی مشخص می‌شود) می‌باشد. برای حلگرهای چگالی مبنا نیز T_ref=0 (بجز برای مدل‌های PDF که در آن T_ref به عنوان ورودی گونه‌های شیمیایی مشخص می‌گردد) تعریف می‌شود.

معادله انرژی برای قاب‌های مرجع متحرک (Moving Reference Frames)

در قاب‌های مرجع متحرک معادله انتقال انرژی از روتالپی (Rothalpy) یا h_r به عنوان یک مقدار بقایی (Conservative) بهره می‌برد. معادله انرژی مرتبط با نواحی متحرک بصورت زیر است:

معادله انرژی برای احتراق غیر پیش آمیخته (Non-Premixed Combustion Model)

در هنگام استفاده از مدل احتراق غیر پیش آمیخته غیر آدیاباتیک، می‌توان از فرم آنتالپی معادله انرژی (رابطه 6) استفاده کرد. با فرض مقدار یک برای عدد لویس (Lewis Number)، ترم‌های انتشار گونه‌های شیمیایی و هدایت به همراه هم در ترم اول سمت راست معادله وارد می‌شوند. سهم انتقال حرارت ناشی از اتلاف لزج بصورت غیر بقایی، ترم دوم سمت راست معادله را به خود اختصاص داده است. آنتالپی کل از رابطه (7) محاسبه شده و Y_j یا همان کسر جرمی گونه شیمیایی j می‌باشد.

اعمال ترم‌های انرژی جنبشی و کار فشاری

کار فشاری (Pressure Work) یا همان کار ترمودینامیک و ترم‌های انرژی جنبشی در معادله (1) گنجانده شده است. البته قابل توجه است که معمولا این پارامترها در جریان‌های تراکم ناپذیر تأثیر قابل توجهی نداشته و قابل صرف نظر کردن هستند. اما برای جریان‌های تراکم پذیر متغیرهای فوق تأثیر گذار بوده و بطور خودکار در معادلات انرژی لحاظ می‌گردند.

اعمال ترم‌های اتلاف لزج

معادلات (1) و (6) بیانگر انرژی حرارتی ناشی از برش لزج (Viscous Shear) در جریان هستند. در زمان استفاده از حلگرهای فشار مبنا، معمولا از این ترم‌ها صرف نظر می‌شود (چراکه در اغلب موارد گرمایش لزج (Viscous Heating) بر جریان تأثیر قابل توجهی ندارد). زمانی گرمایش لزج مهم می‌شود که عدد برینکمن (Brinkman Number: Br) تقریبا به مقدار واحد یا بیشتر از آن برسد.

اما در جریان‌های تراکم پذیر معمولا عدد برینکمن بزرگتر یا مساوی یک است. باید توجه داشت در نرم افزار Fluent هنگام استفاده از حلگر فشار مبنا چه جریان تراکم پذیر باشد چه نباشد، اثر گرمایش لزج در نظر گرفته نمی‌شود. بنابراین لازمست در صورت نیاز آن را فعال نمود. اما در زمان استفاده از حلگر چگالی مبنا، اتلاف لزج بطور پیش فرض در معادله انرژی لحاظ گشته و محاسبه می‌شود.

اعمال ترم انتشار گونه‌های شیمیایی

معادلات (1) و (6) اثرات انتقال آنتالپی ناشی از انتشار گونه‌های شیمیایی را نیز شامل می‌شود. زمانیکه از حلگر فشار مبنا استفاده می‌شود ترم زیر طبق پیش فرض در معادله (1) لحاظ می‌گردد که در صورت عدم نیاز به حل، می‌توان از محاسبه آن صرف نظر نمود.

زمانیکه از مدل احتراق غیر پیش آمیخته غیر آدیاباتیک استفاده می‌شود، این ترم به این خاطر که در معادله (6) وجود دارد، صراحتا در معادله انرژی ظاهر نمی‌شود. همچنین هنگام استفاده از حلگر چگالی مبنا ترم مذکور همواره در معادله انرژی وارد می‌شود.

منابع انرژی ناشی از واکنش

منبع انرژی، S_h، در معادله (1) می‌تواند مبین انرژی انتقالی ناشی از واکنش شیمیایی نیز باشد (معادله 10). در معادله انرژی استفاده شده برای مدل‌های احتراق غیر پیش آمیخته غیر آدیاباتیک (معادله 6)، گرمای فرمیشن (Formation Heating) در تعریف آنتالپی (معادله 7) لحاظ گشته و به همین خاطر منبع گرمایی واکنش در S_h منظور نمی‌گردد.

منابع انرژی ناشی تابش (تشعشع)

در انتقال حرارت به صورت تابشی، S_h شامل منابع گرمایی ناشی از تابش نیز می‌باشدو در این گونه مسائل لازمست از مدل‌های انتقال حرارت تابشی مناسب برای تعیین مقدار گرما استفاده شود. برای کسی اطلاعات بیشتر به این صفحه مراجعه نمایید.

منبع انرژی ناشی از گرمایش ژول

اختلاف پتانسیل الکتریکی هم می‌تواند باعث تولید انرژی در سیالات بخصوص در باتری‌ها شود. با تعیین مقدار گرمای تولید شده ناشی از اختلاف پتانسیل الکتریکی و قرار دادن آن در ترم S_h معادله (1)، انتقال حرارت ناشی از این منبع گرمایی در جریان شبیه سازی خواهد شد.

منبع انرژی بین فازی

باید توجه داشت با اعمال مقدار انتقال حرارت بین فازهای پیوسته و پراکنده در S_h، می‌توان انتقال حرارت کل سیستم جریان همراه با فاز گسسته (Discrete Phase) را شبیه سازی نمود. در واقع همانطور که مسیر ذره محاسبه می‌شود می‌توان انتقال حرارت، جرم و ممنتم جذب یا دفع شده را محاسبه کرد. با تعیین میزان انتقال حرارت بین فازی و قرار دادن آن در ترم سمت راست معادله (1)، S_h، انتقال حرارت کل سیستم محاسبه می‌شود.

معادله انرژی در نواحی جامد

در نواحی جامد معادله انتقال انرژی بصورت زیر تعریف می‌شود:

که ρ: چگالی،

h: آنتالپی محسوس،

K: ضریب انتقال حرارت هدایتی،

T: دما و

S_h: منبع انرژی هستند.

ترم دوم سمت چپ معادله (11) انتقال انرژی جابجایی ناشی از حرکت دورانی یا خطی نواحی جامد را بیان می‌کند. میدان سرعت، V، برگرفته از حرکت ناحیه جامد می‌باشد. و در نهایت ترم‌های سمت راست معادله (11) نیز شار حرارتی حاصل از منابع گرمایی هدایتی و حجمی در ناحیه جامد هستند.

هدایت غیر همگن (Anisotropic)در جامدات

در صورت استفاده از حلگر فشار مبنا در نرم افزار Fluent، امکان تعریف ضریب هدایت گرمایی غیر همگن برای ناحیه جامد وجود دارد. این ضریب به فرم معادله (12) تعریف می‌شود.

در رابطه فوق Kij همان ماتریس هدایت غیر همگن است.

انتشار در مرزهای ورودی

انتقال انرژی در ورودی‌ها شامل هر دو مؤلفه جابجایی و انتشار می‌باشد. مؤلفه جابجایی با تعیین دما در ورودی مشخص می‌گردد. اما مؤلفه انتشار به گرادیان میدان دمای محاسبه شده وابسته است. بنابراین، این مؤلفه در مرزهای ورودی مشخص نمی‌گردد.

تئوری جریان آزاد و جریان بویانسی

زمانیکه گرما به سیال اضافه می‌شود و چگالی سیال با دما تغییر می‌کند، یک جریان القایی ناشی از اعمال نیروی جاذبه به چگالی متغیر، ایجاد می‌شود. چنین جریان‌های ناشی از اثر بویانسی تحت عنوان جابجایی آزاد شناخته می‌شود. اهمیت نیروهای بویانسی در اینگونه جریان‌ها، توسط نسبت اعداد گراشف (Grashof) به رینولدز تعیین می‌گردد (رابطه 13). زمانیکه این نسبت نزدیک یا بیش از یک شود، باید انتظار اثر شدید بویانسی در جریان سیال را داشت. بر عکس اگر این عدد کوچک باشد، از نیروهای بویانسی می‌توان صرف نظر نمود. در جابجایی آزاد خالص، قدرت جریان القایی ناشی از بویانسی توسط عدد ریلی اندازه‌گیری می‌شود (معادله 14).

α: ضریب انتشار حرارتی

β: ضریب انبساط حرارتی

قابل توجه است که اعداد ریلی کوچکتر از 10⁸ نشانگر جریان بویانسی آرام می‌باشد. ناحیه انتقالی آرام به آشفته جریان بویانسی نیز بین اعداد ریلی 10⁸ تا 10¹⁰ پدید می‌آید.