قوانین تبادل گرما و جرم در مدل DPM

تبخیر قطره (Droplet Vaporization) در مدل DPM

Droplet Vaporization In Dpm Model

تبخیر قطره (Droplet Vaporization) در مدل DPM (قانون شماره 2) برای پیش بینی تبخیر قطرات فاز گسسته بکار گرفته می‌شود. این قانون زمانی اعمال می‌شود که دمای قطره به دمای تبخیر برسد. قانون مذکور تا زمان رسیدن دمای قطره به دمای جوش یا تبخیر کامل آن معتبر خواهد بود (روابط 100 و 101). زمان اعمال قانون تبخیر بسته به مقدار تعیین شده Tvap (که یک پارامتر مدلسازی بدون هیچ گونه اهمیت فیزیکی است) آغاز می‌شود. توجه داشته باشید که به محض شروع تبخیر (با رسیدن دمای قطره به مقدار Tvap) حتی اگر دمای قطره به زیر Tvap برسد نیز قطره همچنان تبخیر خواهد شد.

تبخیر تنها زمانی متوقف می‌شود که دمای قطره کمتر از دمای نقطه شبنم شود. در چنین مواردی قطره همچنان در قانون شماره 2 باقی مانده اما هیچ گونه تبخیری شبیه سازی نمی‌شود. با رسیدن دمای قطره به دمای جوش، Tbp، تبخیر قطره با استفاده از نرخ جوشش یا همان قانون شماره 3 مدلسازی می‌گردد.

معادلات قانون شماره 2

انتقال جرم طی اعمال قانون شماره 2؛ مدل کنترل شده انتشار (Diffusion Controlled Model)

طی اعمال قانون شماره 2 که در آن نرخ تبخیر آهسته است، می‌توان فرض نمود که با انتشار گرادیان قانونمند می‌شود. در این فرضیه شار بخار قطره به فاز گازی به تفاوت بین تمرکز بخار روی سطح قطره و فازی گازی اصلی وابسته است (معادله 102). قابل توجه است قانون تبخیر در Fluent فرض می‌کند که Ni مثبت است. در واقع تبخیر صورت می‌گیرد. در شرایطی که در آن Ni منفی باشد یا به عبارت دیگر دمای قطره به زیر دمای نقطه شبنم برسد، نرم افزار Fluent  با قطره مثل یک ذره برخورد می‌کند (Ni=0)

تمرکز بخار روی سطح قطره با فرض اینکه فشار جزئی بخار در فصل مشترک برابر با فشار بخار اشباع، psat، در دمای قطره Tp برابر است تعیین می‌شود (معادله 103) تمرکز بخار در فاز گازی اصلی با حل معادله انتقال معادله iام و از رابطه (104) بدست می‌آید. ضریب انتقال جرم معرفی شده در معادله (102)  از رابطه شروود (Sherwood) نشان داده شده در معادله (105) محاسبه می‌شود. شار بخار برگرفته از معادله (102) منبع تولید ماده iام در معادله انتقال گونه‌های شیمیایی یا در معادله کسر اختلاط در محاسبات احتراق پیش آمیخته می‌باشد (رابطه 106). لازم به توضیح است که نرم افزار فلوئنت توانایی حل همزامان معادلات (106) و انتقال حرارت معادل را با استفاده از حلگر کوپل شده دارد.

مدل انتشار کنترل شده در قانون شماره 2

که Ni: شار مولی بخار (kmol/m2-s)،

Kc: ضریب انتقال جرم (m/s)،

Ci,s: تمرکز بخار روی سطح ذره (kmol/m3

Ci,∞: تمرکز بخار در فاز گازی پیوسته(kmol/m3

Xi: کسر مولی محلی ماده i در فاز اصلی،

p: فشار محلی (pa)،

T: دمای محلی در فاز گازی(K)،

Di,m: ضریب انتشار بخار در حجم محاسبات (m2/s)،

Sc: عدد اشمیت (μ/ρ .Di,m

dp: قطره ذره/قطره (m)،

Mw,i: جرم ملکولی ماده iا(kg/kmol)،

mp: جرم قطره (kg) و

Ap: مساحت سطح قطره(m2) می‌باشد.

انتقال جرم در قانون شماره 2؛ مدل کنترل شده انتشار/جابجایی (Convection/Diffusion Controlled Model)

برای نرخ‌های تبخیر بالا اثر جریان جابجایی (Convective Flow) روی ماده تبخیر شونده از سطح قطره به فاز گازی (جریان استفان: Stefan Flow) مهم می‌شود. در نرم افزار Fluent براساس تحقیقات میلر (Miller) و ساژین (Sazhin) در قالب معادله (107) انتقال جرم دی این شرایط محاسبه می‌شود. Bm عدد جرم اسپالدینگ (Spalding Mass Number) از معادله (108) محاسبه می‌شود. ضریب انتقال جرم، Kc، نیز از طریق رابطه (105) محاسبه می‌شود.

مدل جابجایی/انتشار کنترل شده در قانون شماره 2

که mp: جرم قطره (kg)،

Kc: ضریب انتقال جرم (m/s)،

Ap: مساحت سطح قطره(m2) می‌باشد.

ρ: چگالی گاز (kg/m3)

Yi,s: کسر جرمی بخار روی سطح قطره و

∞,Yi: کسر جرمی بخار در داخل حجم فاز گازی می‌باشد.

انتقال جرم در قانون شماره 2؛ گرماکافت (thermolysis)

در تبخیر قطره (Droplet Vaporization) در مدل DPM، مدل گرماکافت تک نرخی از بیان آرهنیوس (Arhenius) برای محاسبه نرخ انتقال جرم از قطره به فاز گازی بهره می‌برد (معادله 109). البته مدل ساده شده گرماکافت نرخ ثابت نیز با معادله (110) محاسبه می‌شود.

گرماکرافت در قانون شماره 2

که mp: جرم قطره (kg)،

dp: قطره ذره/قطره (m)،

A: ضریب پیش نمایی (Pre-Exponential) (kg/s-m)،

E: انرژی فعال سازی (J/kg)،

Tp: دمای ذره،

C: ثابت نرخ (s-1) و

mp,0: جرم اولیه ذره می‌باشد.

تعریف فشار بخار اشباع و ضریب انتشار یا انتشار دودویی (Binary Diffusivity) در تبخیر قطره (Droplet Vaporization) در مدل DPM

در تبخیر قطره (Droplet Vaporization) در مدل DPM، برای تنظیم و حل مسئله لازمست که فشار بخار اشباع بصورت یک تابع چند جمله‌ای یا قطعه قطعه خطی (Piecewise Linear) از دما (psat(t)) تعریف شود. تعریف این پارامتر بسیار مهم است. همانطور که psat در بدست آوردن نیروی لازم برای فرآیند تبخیر (معادلات 102 و 103) الزامیست، لازمست مقدار فشار تبخیر نیز در کل دامنه دمایی قطره با دقت محاسبه شود. داده‌های فشار بخار اشباع را می‌توان از طریق کتاب‌های راهنما (handbook) استخراج نمود. همچنین ضروریست که ضریب انتشار، Di,m به عنوان ورودی در هنگام تنظیم شرایط حل مسئله مشخص شود. قابل توجه است که ورودی‌های ضریب انتشار  مشخص شده در فاز پیوسته برای فاز گسسته قابل استفاده نیست.

ضریب انتشار دودویی می‌تواند بصورت ثابت و یا تابعی از دمای فاز پیوسته تعریف شود. البته به عنوان جایگزین می‌توان این ضریب را بصورت تابعی از دمای متوسط فیلمی (Film-Averaged) با علامت اختصاری  Tf، (رابطه 111) محاسبه نمود. قابل ذکر است که در نرم افزار Fluent ضریب انتشار براساس فرض عدد لویس واحد (معادله 112) نیز قابل محاسبه است. طبق تحقیقات پولینگ (Polling) و همکاران، برای فشارهای پایین تا متوسط (مثلا فشارهای کمتر از 0.9 فشار بحرانی) انتشار دودویی Di نسبت عکس با فشار دارد (معادله 113).

انتشار دوگانه (Binary Diffusivity) در قانون شماره 2

که Tp: دمای ذره (K)،

T: دمای محلی در فاز گازی(K)،

a: ضریب متوسط،

Di,m: انتشار جرم گونه شیمیایی i در مخلوط فاز گاز،

K: ضریب هدایت حرارتی مخلوط

ρ: چگالی مخلوط (kg/m3)

Cp: حرارت ویژه مخلوط

Di,ref: انتشار دودویی ماده شیمیایی i در فشار مرجع، pref، می‌باشد.

تعریف نقطه جوش و گرمای نهان در تبخیر قطره (Droplet Vaporization) در مدل DPM

نقطه جوش، Tbp، و گرمای نهان، hfg، بصورت مقادیر ثابت برای مواد ذره-قطره تعریف می‌شوند. در نرم افزار Fluent بانک اطلاعاتی شامل داده‌های نقطه جوش متناسب با داده‌های معتبر برای فشار 1 اتمسفر (نقطه جوش نرمال) و داده‌های گرمای نهان متناسب با نقطه جوش قطرات ایجاد شده است. طی فرآیند تبخیر همراه با تغییر دمای ذرات، گرمای نهان آن‌ها با استفاده از معادله (114) قابل محاسبه است.

نقطه جوش و گرمای نهادن در قانون شماره 2

برای شبیه سازی‌ها در نزدیکی فشار اتمسفر، تغییرات گرمای نهان با دمای قطره به اندازه‌ی کافی کوچک است که بتوان از آن صرف نظر نمود. بنابراین hfg≈hfg,bp. البته می‌توان اثرات دمای قطره را در گرمای نهان با استفاده از گزینه Temperature Dependent Latent Heat در نرم افزار Fluent لحاظ نمود. اگر در شبیه سازی فشار با فشار اتمسفر متفاوت باشد، لازمست نقطه جوش به گونه‌ای اصلاح گردد تا با فشار متوسط در جائیکه قطره بخار می‌شود سازگار باشد یا اینکه گزینه Pressure Dependent Boiling در نرم افزار Fluent فعال گردد. درصورت تغییر نقطه جوش بصورت دستی لازمست که مقدار گرمای نهان نیز متناسب با آن تصحیح گردد.

انتقال حرارت به قطره در تبخیر قطره (Droplet Vaporization) در مدل DPM

دمای قطره با توجه به معادله بالانس حرارتی تصحیح می‌شود تا تغییر محسوس گرمای قطره را به انتقال همرفتی یا گرمای نهان بین قطره و فاز پیوسته مرتبط سازد (معادله 115). در نرم افزار Fluent هنگام استفاده از مدل DPM انتقال حرارت تابشی به ذره تنها در زمان بکارگیری مدل‌ تابشی P-1 یا DO قابل شبیه سازی است. برای این کار لازمست گزینه Particle Radiation Interaction در کادر محاوره مدل فاز گسسته فعال گردد.

گرمای انتقال یافته/جذب شده به/از فاز گازی بصورت ترم‌های چشمه/چاه در معادله انرژی فاز پیوسته ظاهر می‌شود. با محاسبه نرخ تبخیر توسط مدل کنترل شده انتشار/جابجایی، ضریب انتقال حرارت جابجایی، h، در معادله (115) براساس عدد ناسلت تصحیح شده و از رابطه (116) محاسبه می‌شود. BT عدد انتقال حرارت اسپالدینگ (Spalding Heat Transfer Number) از دو معادله (117 و 118) قابل محاسبه است. برای عدد لویس واحد و فرض اضافی Cpv = Cpg معادله (118) بصورت معادله (119) خلاصه می‌شود.

درصورتیکه اختلاف دمای بین قطره و فاز گازی قابل توجه باشد اثرات گذرا اهمیت پیدا می‌کند. بنابراین فرض دمای یکنواخت قطره و فرض برخاستن بخار در دمای معادل با دمای فاز گازی ممکن است سئوال برانگیز باشد. در چنین شرایطی میانگینی از ترم انتقال حرارت اسپالدینگ ممکن است نتایجی واقعی‌تر را در پی داشته باشد. نرم افزارFluent  گزینه‌ای برای محاسبه ترم ln(1+ BT)/ BT موجود در رابطه (116) را در اختیار کاربران قرار داده است (معادله 120).

انتقال حرارت به قطره در مدل شماره 2

که Cp: ظرفیت گرمایی قطره (J/kg-K)،

Tp: دمای ذره (K)،

h: ضریب انتقال حرارتی همرفتی (جابجایی) (w/m2-K)،

T: دمای فاز پیوسته(K)،

dmp/dt: نرخ تبخیر (kg/s)،

hfg: گرمای نهان (J/kg)،

Ɛp: ضریب گسیلندگی(تشعشع) بدون بعد،

σ: ثابت استفان بولتزمن (5.67*10-8 W/m2-K4

θR: دمای تابش، (G/4σ)1/4 با واحد (K)،

G: تابش جذبی (Incident Radiation) (معادله 94)

dp: قطره ذره/قطره (m)،

K: ضریب هدایت حرارتی فاز پیوسته (W/m-K)،

Red: عدد رینولدز قطره (معادله 3)،

Pr: عدد پرانتل،

BT: عدد انتقال حرارت اسپالدینگ (معادله 117) و یا براساس عدد جرم اسپالدینگ (معادله 118)،

Bm: عدد جرم اسپالدینگ (Spalding Mass Number).

q.p: حرارت انتقال یافته به قطره (W)،

m.p: نرخ تبخیر قطره (kg/s)،

Cpv: گرمای ویژه بخار قطره (J/kg-K)،

Le: عدد لویس (Lewis Number) و

Cpg: گرمای ویژه مخلوط (J/kg-K) می‌باشد.

بازگشت

مطالب مرتبط

گرمایش/سرمایش خنثی در مدل DPM

جوشش قطره (Droplet Boiling) در مدل DPM

فرّار زدایی یا حذف مواد فرار ذره (Devolatization)

برای کسب اطلاعات بیشتر با ما تماس بگیرید

محمدرضا کلیچ

Ansys Fluent